unten beschränkt

08.11.2011, 02:34

BertlPub

Beweis: Wenn B nach oben/unten beschränkt, dann auch A nach oben/unten beschränkt

Mein erster Post hier, deshalb mal ein dickes Hallo! smile

Zunächst mal die Aufgabenstellung: Seien $\begin{eqnarray*} \varnothing \subseteq A \subseteq B \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zeige: Ist B nach oben beschränkt, dann ist auch A nach oben beschränkt und es gilt $\begin{eqnarray*} sup A \le sup B \end{eqnarray*}$

Also das es so ist ist mir klar. Und ich denk mir das derzeit so:

(1) $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \Rightarrow \forall a \in A : a \in B \end{eqnarray*}$

Wenn B nach oben beschränkt ist, besitzt es nach dem Vollständigkeitsaxiom auch eine Supremum. Damit mit (1):
$\begin{eqnarray*} sup B \ge b \forall b \in B \Rightarrow sup B \ge a \forall a \in A \subseteq B \end{eqnarray*}$
Was so gleichbedeutend ist mit "A ist nach oben beschränkt", denn sup B ist nach der Definition von oberen Schranken ebenfalls eine obere für A.
Reicht das? Oder wie sagt man das noch klarer?

Da A nach oben beschränkt ist existiert auch ein sup A.

Jetzt ist noch zu zeigen, das: $\begin{eqnarray*} sup B \ge sup A \end{eqnarray*}$

Und dazu fällt mir jetzt auch nach mehrstündigem Grübeln und rumprobieren mit Epsilons und was auch immer nix mehr ein. Bin mal gespannt ob Part 1 stimmt und bin für einen Tipp für Part 2 dankbar.

Vielen Dank im Voraus smile

08.11.2011, 03:10

pseudo-nym

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Bis auf das Hintanstellen der Quantoren heiße ich (1) gut.

Für 2. kannst du ja mal zeigen, dass jede obere Schranke von B auch eine obere Schranke von A ist.

08.11.2011, 12:48

BertlPub

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Hm nach dieser Überlegung, denke ich ist es am Besten auch den ersten Part damit aufzubauen, oder?

Mein gesamter Beweis wäre nun:

(1): $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \Rightarrow \forall a \in A : a \in B \end{eqnarray*}$

Sei nun s_{B} eine obere Schranke von B so gilt:
(2): $\begin{eqnarray*} \forall b \in B: s_{B} \ge b \end{eqnarray*}$
Aus (1) und (2) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall a \in A: s_{B} \ge a \end{eqnarray*}$
Jede obere Schranke von B ist also auch eine obere Schranke von A und aus der Existenz einer oberen Schranke von B folgt das auch A nach oben beschränkt ist.

Für die kleinste obere Schranke von B gilt deshalb aber auch:
(3): $\begin{eqnarray*} sup B \in \{s_{A} \in \mathbb R : s_{A} \ge a ,\forall a \in A\} \end{eqnarray*}$

Für das Supremum von A gilt definitionsgemäss:
$\begin{eqnarray*} sup A = min \{s_{A} \in \mathbb R : s_{A} \ge a ,\forall a \in A\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall s_{A}: sup A \le s_{A} \end{eqnarray*}$

und wegen (3) auch: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow sup A \le sup B \Box \end{eqnarray*}$

Meine Fragen dazu:
a.) Geht das so? Ist mein Gedankengang gut?

b.) Du meintes vorhin das du das das Hintanstellen der Quantoren nicht gut ist. Meine These ist deshalb nun: In Mengenklammern ist es ok, ansonsten sollte es vor einer Aussage stehen. Stimmt das? Und find ich dazu irgendwo eine gute Erklärung über do's and don'ts? (Falls hier auf matheboard.de, reicht mir schon die Aussage das ich selber suchen soll, natürlich auch das ich selber googlen soll. Nur falls du was bei der Hand hast smile

)

c.) Bin ich zu formell? Sollte ich mehr mit Worten schreiben? Was ist deine Empfehlung? Ich muss das ganze auf der Tafel in einer Übung präsentieren können und desto mehr Analysis Bücher und Skripten ich anlese, desto unsicherer werde ich mir über die nötige Form. Gibts da irgendwo einen guten Text mit Empfehlungen?
Ich sehe nämlich das Buchautoren gerne einfach erklären, während an der Tafel dann oft eine formellere Form gewünscht ist. (Das ist zumindest mein Eindruck)

Vielen Dank jedenfalls für Deinen Tipp. Ich hoffe meine Fragen sind nicht zu viel. Ich bin eben vor allem bezüglich der nötigen Form verunsichert. Leider kann ich die Vorlesungen nicht besuchen, was ein riesen Manko ist. Denn dort würde ich so etwas vielleicht mitbekommen. Aber das geht berufsbedingt einfach nicht unglücklich

Deshalb muss ich mir das irgendwie selbst aneignen und bin auch gerne bereit dafür viel Gehirnschmalz zu investieren. Wenns also irgendwelche Tips für ein Selbststudium gibt, sauge ich die gerne auf wie ein Schwamm smile

08.11.2011, 13:03

BertlPub

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noch eine Frage d.)
Setze ich mit dem Satz "Für die kleinste obere Schranke von B gilt deshalb aber auch:" nicht schon wieder zu viel voraus? Und macht es einfach irgendwann, nach genügend Beispielen klick und das Gehirn ist darauf trainiert? Oder gibts sonst noch irgendeinen Tipp, wie ich hier zu einem Gefühl der Sicherheit kommen kann, dass mein Beweis vollständig ist? Irgendein "Abklopfverfahren" quasi? :-)

08.11.2011, 20:14

BertlPub

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Das Beispiel kam heute in der Übung dann noch nicht dran. Ich hab dann aber danach mal unserer Übungsleiterin meinen Lösungsweg gezeigt und der Schluss passt ihrer Meinung nach nicht ganz. Also der Schluss:

Zitat:

Original von BertlPub
und wegen (3) auch: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow sup A \le sup B \Box \end{eqnarray*}$

Wir habens dann zu zweit gelöst. Sie hats mal aus dem Stehgreif probiert und dann nach ein paar Minuten doch selbst nachsehen müssen. Was einige meiner Unsicherheiten ausgemerzt hat smile

Es ist einfach oft schwer sowas zu sehen offensichtlich smile

Jedenfalls hat sie dann $\begin{eqnarray*} sup A \le sup B \end{eqnarray*}$ mittels indirektem Beweis gezeigt. Und das Post ich mal nicht. Damit eventuelle Leser/innen auch noch was zu tun haben Augenzwinkern

Vielen Dank nochmal! Der Ansatz hat mir gute Dienste erwiesen smile

08.11.2011, 21:35

pseudo-nym

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Ich kann die Position deines Übungsleiters nicht ganz nachvollziehen. Ich sehe zwei formale Fehler in deinem Beweis aber inhlatlich stimmt das schon.

Zitat:

Original von BertlPub
b.) Du meintes vorhin das du das das Hintanstellen der Quantoren nicht gut ist. Meine These ist deshalb nun: In Mengenklammern ist es ok, ansonsten sollte es vor einer Aussage stehen.

Nein, imho ist sind nachgestellte Quantoren wie Brandschatzen und Raubmorden. In einer zivilisierten Gesellschaft geht sowas nicht.

Das zweite Problem ist diese Aussage

Zitat:

Original von BertlPub
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall s_{A}: sup A \le s_{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_A \end{eqnarray*}$ ist nirgendwo definiert (eine sog. freie Variable) und deswegen ist diese Aussage formal falsch, aber ich meine zu wissen was du meinst:
$\begin{eqnarray*} \forall x \in \{s_{A} \in \mathbb R : s_{A} \ge a ,\forall a \in A\} : sup A \le x \end{eqnarray*}$
Diese Aussage ist richtig und da insbesondere $\begin{eqnarray*} sup B \in \{s_{A} \in \mathbb R : s_{A} \ge a ,\forall a \in A\} \end{eqnarray*}$ gilt bist du eigentlich fertig.

Zitat:

Original von BertlPub
Und find ich dazu irgendwo eine gute Erklärung über do's and don'ts?

Falls du so etwas wissen willst, helfen dir Bücher oder Vorlesungen über mathematische Logik weiter. Allerdings sind die meist für höhere Semester konzipiert. Solche Veranstaltungen sind aber meistens keine Pflicht, da der Großteil der Studenten die Grundlagen der Logik so wie du gerade durch Ausprobieren zur Genüge lernt.

Zitat:

Original von BertlPub
c.) Bin ich zu formell? Sollte ich mehr mit Worten schreiben? Was ist deine Empfehlung? Ich muss das ganze auf der Tafel in einer Übung präsentieren können und desto mehr Analysis Bücher und Skripten ich anlese, desto unsicherer werde ich mir über die nötige Form. Gibts da irgendwo einen guten Text mit Empfehlungen?
Ich sehe nämlich das Buchautoren gerne einfach erklären, während an der Tafel dann oft eine formellere Form gewünscht ist.

Nun grundsätzlich sind formale Ausdücke komprimierter aber schwerer lesbar. D.h. sowohl durchgehende Prosa als auch rießige Quantorenketten haben ihre Tücken. Ich kann deine Ausführungen gut lesen, aber wenn es den Leuten in der Übung nicht gefällt werden sie sich schon beschweren.

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