Potenzreihe

08.11.2011, 12:15

svler91

Potenzreihe

Meine Frage:
Hallo,
meine betreffende Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} f(x) \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{n} }{\pi ^{n+ 1} } \times x^{n} \end{eqnarray*}$

Die Fragestellung dazu lautet:
1.Berechnen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe --> War kein Problem
Allerdings verstehe ich den 2. teil nicht:
2.Entscheiden sie ob f(1) definiert ist. Wenn ja, berechnen sie f(1).
Vielen Dank

Meine Ideen:
Mein Problem ist dass ich mit der Fragestellung 2 nichts anfangen kann, setze ich x=1 ein sehe ich nicht wie ich entschieden soll ob dies definiert ist ? Mir fehlt dazu das kriterium wann die reihe definiert ist und wann nicht.

08.11.2011, 12:21

juffo-wup

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Was hast du denn für den Konvergenzradius heraus?

08.11.2011, 12:36

svler91

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Pi/2 ?

08.11.2011, 12:50

klarsoweit

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RE: Potenzreihe
Erstmal muß es wohl lauten: $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{\pi ^{n+1}} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von svler91
Mein Problem ist dass ich mit der Fragestellung 2 nichts anfangen kann, setze ich x=1 ein sehe ich nicht wie ich entschieden soll ob dies definiert ist ? Mir fehlt dazu das kriterium wann die reihe definiert ist und wann nicht.

Ehrlich gesagt verstehe ich dein Problem nicht. Dein Konvergenzradius ist doch pi/2 und offensichtlich ist 1 < pi/2 . Also ist die Potenzreihe für x=1 definiert.

08.11.2011, 12:57

svler91

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ok danke, es kam mir ehrlich gesagt zu trivial vor, als dass es hätte stimmen können.
Dann bleibt mir nur die Frage wie ich f(1) berechne, ich komm auf nix anständiges, bzw, komm ich eigntl garnicht voran.

08.11.2011, 13:08

klarsoweit

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Meine Güte. unglücklich

Setze mal x=1 ein und denke an die geometrische Reihe.

08.11.2011, 13:10

svler91

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aaaaahhhhh verdammt!
Danke, ich stand aufm schlauch...

08.11.2011, 18:17

svler91

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ok nein steh immer noch auf dem schlauch...
Wie hilft mir
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty | x |^{n} \end{eqnarray*}$

da weiter ?

ich hab doch da stehen
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{n} }{\pi ^{n+1} } \end{eqnarray*}$

ich weiß dass
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{\pi ^{n+1} } \end{eqnarray*}$ <1 ist und die Reihe somit konvergent ist

weiter weiß ich allerdings nicht

...
Danke

08.11.2011, 18:46

René Gruber

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Potenzgesetze, Potenzgesetze, Potenzgesetze ...
Umformen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{\pi^{n+1}} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{\pi\cdot \pi^{n}} = \frac{1}{\pi} \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{\pi^{n}} = \ldots \end{eqnarray*}$

Ziel ist eine Struktur $\begin{eqnarray*} a_0 \sum\limits_{n=0}^\infty q^n \end{eqnarray*}$ mit passend gewählten $\begin{eqnarray*} a_0,q \end{eqnarray*}$ .

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