Beweis sup (M) = max (M)

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08.11.2011, 13:13	b6m3	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis sup (M) = max (M) Meine Frage: Hey Also meine Aufgabe lautet wie folgt: Sei M eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen. Zeigen Sie: Falls M ein Maximum besitzt, so auch ein Supremum, und es gilt sup(M) = max (M) Meine Ideen: Nunja... recht viele Ansätze kann ich jetzt leider ned wirklich geben, da ich nicht weiß, wie ich das anpacken muss. Ich weiß bisher nur so viel, wenn M ein Maximum besitzt, somit ist es nach oben beschränkt. Also hat es eine kleinste obere Schranke (= Supremum)
08.11.2011, 13:30	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Du weißt ja, dass die Menge ein Maximum hat, nenne die Zahl meinetwegen $\begin{eqnarray} a := max(M) \end{eqnarray}$ . Jetzt zeige, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ genau das Supremum ist, das heißt, die kleinste obere Schranke. Noch detaillierter ausgedrückt: Zeige, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine Schranke ist und beweise dann, dass sie die kleinste obere Schranke ist.
08.11.2011, 23:03	b6m3	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schon mal für deine Antwort! das ganze mach ich dann wohl am besten mit einem Widerspruchsbeweis, oder? also ich nehme an, dass a keine obere schranke von M ist... d.h. es gibt ein x element M, das größer ist als a... aber wie mache ich dann weiter? wie komme ich zum Widerspruch?
08.11.2011, 23:22	Gerome	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin mir dabei nicht zu 100% sicher aber ich denke mal so: Sei â kleiner a und µ größer 0. widersrpuchsannahme: â $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ a - µ µ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ a - â fügt man dann â kleiner a hinzu folgt: µ kleiner a - a µ kleiner 0 (dann wäre hier der widerspruch) Hoffe das stimmt so und du kannst was damit anfangen
08.11.2011, 23:45	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, das ist ein bißchen unnötig kompliziert. (Aber die Idee mit dem Widerspruchsbeweis ist gut) Also: Sei $\begin{eqnarray} a := max(M) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine obere Schranke ist. Widerspruchsannahme: $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist keine obere Schranke, das heißt: Es gibt Elemente in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , die größer sind. Was ist jetzt aber mit der Definition von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ?
09.11.2011, 17:14	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Duedi: Damit wäre aber doch nur bewiesen, dass max(M) eine obere Schranke ist, was ja im Prinzip schon direkt aus der Definition des Maximums folgt. Es fehlt noch der Beweis für max(M) als kleinste obere Schranke, richtig? Gerome: Wieso folgt aus $\begin{eqnarray} (\mu \leq a - \hat{a}) \wedge ( \hat{a} \textless a )\Rightarrow \mu \textless a - a \end{eqnarray}$
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09.11.2011, 19:47	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast natürlich Recht Kiwiatmb, aber genau diesen "trivialen" Schritt muss man zuerst zeigen (zumindest im ersten/zweiten Semester). Der zweite Punkt ist dann der Beweis zur Minimalität dieser Schranke.
09.11.2011, 20:38	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
War nur eine Verständnisfrage. Ich nehme auf Grund des Datums und der wortgetreuen Aufgabenstellung mal an, dass der Fragesteller und ich in derselben Vorlesung sitzen und ich hänge auch gerade an dieser Aufgabe. Dass max(M) obere Schranke ist, ist mir klar - es fehlt noch der zweite Schritt. Geromes Ansatz sieht aus, als ob er genau diesen zweiten Schritt lösen würde. Allerdings verstehe ich die Argumentation nicht. Wieso ist $\begin{eqnarray} \hat{a} \leq a - \mu \end{eqnarray}$ die Widerspruchsannahme - ich hätte da jetzt nur $\begin{eqnarray} \hat{a} \textless a \end{eqnarray}$ angenommen. Und um auf meinen letzten Post zurückzukommen: Aus $\begin{eqnarray} (\mu \leq a - \hat{a}) \wedge ( \hat{a} \textless a ) \end{eqnarray}$ folgt meinem Verständnis nach einzig und allein $\begin{eqnarray} \Rightarrow a - \hat{a} \textgreater 0 \end{eqnarray}$ . Sehe da nicht die connection zu µ. Gut, nach Definition auch $\begin{eqnarray} \mu \textgreater 0 \end{eqnarray}$ , aber das sagt doch nichts über die Anordnung von µ und a aus, oder doch ? Sorry, falls ich hier den Gedankenfluss störe, das war nicht meine Absicht. :/
09.11.2011, 20:52	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Einwand ist richtig. Versuche, zu widerlegen, dass es eine kleinere obere Schranke gibt. Auch das kannst du mit einem Widerspruchsbeweis machen: Nenne die angenommene kleinere Schranke $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , diese ist $\begin{eqnarray} < a \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du die Schrankeneigenschaft zusammen mit der Maximalität von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ zum Widerspruch führen.
09.11.2011, 22:57	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Annahme: b ist obere Schranke, $\begin{eqnarray} b < a \end{eqnarray}$ Aus "b ist obere Schranke" $\begin{eqnarray} \Rightarrow b \geq m \hspace{1 cm} \forall m \in M \end{eqnarray}$ (also auch für a, da $\begin{eqnarray} a \in M \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \Rightarrow a > b \geq m \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} m = a \Rightarrow a > a \rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch. Wenn das stimmt, bin ich der größte Ochs', den ein Berg je gesehen hat.
09.11.2011, 23:11	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist wunderbar richtig. Aber ärgern musst du dich nicht, gerade die "trivialsten" Beweise sind am Anfang am Schwierigsten .
09.11.2011, 23:43	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank ! (Auch für die Aufmunterung !)

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