Irreduzibel |
| 08.11.2011, 13:17 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Irreduzibel ich glaubs fast nicht: Ich habe schon wieder eine Frage zu einem bekannten Thema 
Wie kann ich zeigen, dass f = X^4 + 16 in Z[X] irreduzibel ist? Eisenstein klappt hier leider nicht... Gruss, Leo |
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| 08.11.2011, 13:52 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Irreduzibel hallo leo, habe wieder eine tolle idee, wie man das problem lösen kann, und zwar ersetze in deinem polynom X durch X-1, dann erhälst du ein neues polynom, bei dem man viel einfacher zeigen kann, dass es irreduzibel ist, da geht glaub ich der satz von eisenstein, und dann muss dein ursprüngliches polynom ja auch irreduzibel sein. gruss ollie3 |
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| 08.11.2011, 20:29 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Irreduzibel Haha..mit einem so einfachen Trick..also ist es folgendermassen korrekt? (x-1)^4 + 16 = x^4 - 4 x^3 + 6 x^2 - 4 x + 17 Davon muss man doch aber noch 1 addieren, oder? --> p = 2, Eisenstein würde also funktionieren. |
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| 09.11.2011, 07:22 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Irreduzibel hallo leo, ja, genauso ist es. 
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| 09.11.2011, 08:26 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In dem Fall würde man damit die Irreduzibilität des Originalpolynoms nachweisen, die von jedoch nicht. 
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| 09.11.2011, 10:17 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...deshalb habe ich so "dumm" nachgefragt. Am Schluss sollte doch wieder gelten: (x-1)^4 + y = x^4 + 16 Das heisst y = 4 x^3 - 6 x^2 + 4 x + 15 Das heisst a_0 wäre dann 16. (das habe ich nun irgendwie im Zug zusammengewurstelt, daher bitte nicht 
wenns falsch ist).Wie auch immer: Ich komme mit beiden Varianten zum selben Schluss: Mit Eisenstein funktioniert das nicht, denn falls a_0 tatsächlich 16 wäre und p = 2, so teilt p^2 a_0 immernoch - was aber nicht gelten dürfte. Wie sonst ist es möglich, die Irreduzibilität zu zeigen? |
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| 09.11.2011, 15:15 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo leo, das hast du leider falsch verstanden, wenn man X durch X-1 ersetzt, erhält man dann ein neues polynom, und das hattest du auch richtig ausgerechnet, und das ist nach dem satz von eisenstein irreduzibel (weil hier a_0=17), und wenn das neue polynom irreduzibel ist, dann muss das alte auch irreduzibel sein, das ist der trick bei der ganzen sache. gruss ollie3 |
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| 09.11.2011, 15:54 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber schau: a_0 ist dann 17, d.h. p = 17, da 17 prim ist. ABER: p teilt die restlichen a_i 's nicht. Deshalb denke ich, dass es so nicht klappt. (..will mich natürlich nicht mit dir anlegen, aber nach Definition werden so nicht alle Bedingungen erfüllt..) Habs mittlerweile mal ganz intuitiv gemacht: Faktorisieren (über C), woraus dann die Irreduziblität in Z folgt, da die Teiler nicht in Z sind. So müsste es ebenfalls gehen. |
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| 09.11.2011, 16:49 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo leo, habe mir das nochmal angeguckt, mit dem eisenstein-kriterium habe ich aber trotzdem recht, denn das funktioniert so: wenn es ein primelement gibt, durch das alle "mittleren koeffizienenten" teilbar sind, nur a_0 und a_n nicht, dann ist das polynom irreduzibel, und bei x^4- 4x^3 + 6x^2 - 4x +17 wäre das primelement =2, denn -4, 6, und -4 sind durch 2 teilbar, 1 und 17 dagegen nicht. Klar, man kann X^4+16 auch über C faktorisieren, dann sieht man, das dieses polynom nur komplexe nullstellen haben kann. Trotzdem vielen dank für deinen beitrag. gruss ollie3 |
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| 09.11.2011, 20:12 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo ollie, sorry, dass ich mich nochmals melde: Meinen Notizen nach (und auch nach wikipedia) stimmt das nicht ganz: Das zu suchende Primelement muss auch a_0 teilen, nur a_n nicht. Zudem darf das Primelement im Quadrat aber a_0 nicht teilen. So stehts nicht nur in meinen Notizen (die nicht immer fehlerlos sind), sondern auch auf wikipedia. Bitte korrigier' mich, falls ich was falsch verstanden habe. Gruss, Leo |
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| 09.11.2011, 20:29 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ollie3 Du solltest endlich einsehen, dass du auf einem Irrweg bist: Leo1234 hat völlig recht, es wird auch gefordert! Nach deiner Argumentation wäre nämlich auch irreduzibel, was es wegen gewiss nicht ist. Ich hab ja davon nicht sonderlich viel Ahnung, aber könnte es nicht so klappen: Wäre reduzibel, so müsste auch reduzibel sein, und damit auch - was es nicht ist (z.B. über Eisenstein). EDIT: Dämlicher Verschreiber (irreduzibel statt reduzibel) - danke an D@Npower. |
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| 09.11.2011, 22:40 | D@Npower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@HAL 9000 Die Idee ist gut. y^2+1 ist aber tatsächlich irreduzibel. Tipp: (y^4 + 1) (y^4 - 1) |
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| 10.11.2011, 08:01 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo leo und hal9000, oh man, das wird ein echtes streitgespräch, ich bin mir trotzdem sicher, das ich recht habe, guckt euch das beide bei wikipedia unter "irreduzibles polynom" an, dort steht der satz von eisenstein exakt drin, und es heisst dort p nicht teiler von a_n, p^2 nicht teiler von a_0, p aber teiler von allen übrigen a_i. Seht ihr, da bin ich mir sicher. gruss ollie3 |
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| 10.11.2011, 08:14 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo leo und Hal9000, oh sorry, ihr hattet doch recht, habe das was wichtiges übersehen. Dann muss ich mich natürlich bei euch entschuldigen. gruss ollie3 PS: ich hatte übersehen, das p auch teiler von a_0 sein muss, nur p^2 eben nicht. |
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| 10.11.2011, 10:23 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kein Problem - das ist (indirekt) ja auch gut für mich, weil ich so sehe, dass auch Experten mal Fehler machen können und dass ich mich immer zuerst informieren muss, bevor ich eine Frage stelle bzw. etwas behaupte. ...und tatsächlich ist die Funktion irreduzibel
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