Verteilungen von ZV

08.11.2011, 13:43

Gast11022013

Verteilungen von ZV

Meine Frage:
Welche Verteilungen besitzen die Zufallsvariablen?

(1) Der Frauenanteil an der Gesamtzahl der Beschäftigten liegt im Land Niedersachsen bei 41,4 %. $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ sei die Anzahl der Frauen unter 100 zufällig ausgewählten Beschäftigten dieses Landes.

(2) Eine Pharmagroßhandlung beliefert täglich 500 Apotheken, die Wahrscheinlichkeit einer Reklamation beträgt bei allen Apotheken (unabhängig voneinander) 0,02. $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ sei die Anzahl der Reklamationen an einem Tag.

(3) Ein Mann, der jeden Morgen mit dem Bus zur Arbeit fährt, hat oftmals das Pech, daß die ankommenden Busse überfüllt sind und vorbeifahren. Aus Erfahrung weiß er, daß die Anzahl der an einem Morgen vorbeifahrenden Buss Poisson-verteilt ist mit Erwartungswert 1. Sei $\begin{eqnarray*} X_3 \end{eqnarray*}$ die Anzahl der in einem Halbjahr (=100 Arbeitstage) vorbeifahrenden Busse.

Meine Ideen:
(1) Das ist m.E. die hypergeomtrische Verteilung. Soll man jetzt die Verteilung auch konkret hinschreiben? Wenn ja, frage ich mich, ob meine Idee korrekt sein kann, denn man bräuchte den angegebenen Anteil der Frauen dann für die Verteilung gar nicht.

(2) poissonverteilt

(3) keine Idee

Wer kann mir bitte helfen?

08.11.2011, 16:45

Math1986

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RE: Verteilungen von ZV
1) Prinzipiell richtig, wobei ich eher zur Binomialverteilung greifen würde, da sich die 41,4% auf die Gesamtbevölkerung Niedersachsens bezieht.
Diese ist hier nicht gegeben, und man kann anehmen, dass die 100 Personen nur ein vernachlässigbar kleiner Anteil davon sind smile

Außerdem ist die gegebene Zahl sowiso nur eine Schätzung, die von Zeit zu Zeit auch schwankt.

2) Hier auch von der Modellierung her eher Binomialverteilung, Poisson-Verteilung ist aber eine gute Annährung an diese.

3) Die Summe Poisson-verteilter Zufallsvariablen ist wieder Poisson-verteilt.

08.11.2011, 17:28

Gast11022013

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RE: Verteilungen von ZV
Hallo, Math1986!

Könntest Du mir vllt. nochmal erklären, wieso Du bei (1) und (2) die Binomialverteilung wählen würdest?

Insbesondere bei (2) ist mir nicht klar, wie sich das begründet, denn ich habe mir gedacht, daß man bei eher unwahrscheinlichen Ereignissen, deren Anzahl offen ist, zur Poisson-Verteilung neigt.

08.11.2011, 17:52

Math1986

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RE: Verteilungen von ZV

Zitat:

Original von Dennis2010
Hallo, Math1986!

Könntest Du mir vllt. nochmal erklären, wieso Du bei (1) und (2) die Binomialverteilung wählen würdest?

Hatte ich oben schon begründet.
Was ist dir an meiner Begründung unklar?

Zitat:

Original von Dennis2010
Insbesondere bei (2) ist mir nicht klar, wie sich das begründet, denn ich habe mir gedacht, daß man bei eher unwahrscheinlichen Ereignissen, deren Anzahl offen ist, zur Poisson-Verteilung neigt.

In der Annährung ist die Poisson-Verteilung passend, aber du hast im Prinzip 500 einzelne Bernoulli-Experimente, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 erfolgreich ist.

08.11.2011, 17:57

Gast11022013

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Ich habe bei (1) noch nicht verstanden, wieso Du die Binomialverteilung wählen würdest: Deine Begründung war, wenn ich es korrekt verstanden habe, weil sich die prozentuale Angabe auf die Gesamtbevölkerung bezieht. Mir ist nicht klar, wieso man deswegen (lieber) die Binomialverteilung wählen kann/ sollte.

Bei (2) hat man 500 Apotheken, die beliefert werden und bei jeder Apotheke kann es eine Reklamation geben. Das sind 500 einzelne Bernoulli-Versuche. Ist dann die Summe aus binomialverteilten (bzw. da hier wohl n=1, wobei man wohl die Lieferung als ganze meint, bernouilli-verteilte) ZV wieder binomialverteilt?

08.11.2011, 17:59

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ich habe bei (1) noch nicht verstanden, wieso Du die Binomialverteilung wählen würdest: Deine Begründung war, wenn ich es korrekt verstanden habe, weil sich die prozentuale Angabe auf die Gesamtbevölkerung bezieht. Mir ist nicht klar, wieso man deswegen (lieber) die Binomialverteilung wählen kann/ sollte.

Weil du davon ausgehen kannst, dass die Personen unabhängig voneinander gewählt werden, und die Gesamtzahl der Beschäftigten derart groß ist, dass sich die "Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen.

Zitat:

Original von Dennis2010
Bei (2) hat man 500 Apotheken, die geliefert werden und bei jeder Apotheke kann es eine Reklamation geben. Das sind 500 einzelne Bernoulli-Versuche. Ist dann die Summe aus binomialverteilten (bzw. da hier wohl n=1, wobei man wohl die Lieferung als ganze meint, bernouilli-verteilte) ZV wieder binomialverteilt?

Ja, die Summe ist wieder bi9nomialverteilt.

08.11.2011, 18:06

Gast11022013

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Danke!

Dann habe ich noch eine Frage, die unter (4) läuft und die ich leider oben vergessen habe, dazuzuschreiben.

(4) Welche approximative Verteilung hat die folgende ZV?

Willi verbringt seine Zeit oft an einem Spielautomaten, bei dem ein Spiel 50 Cent kostet. Die Zufallsvariable X=Gewinn (in Euro) hat folgende Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{eqnarray*} P(X=-0,5)=0,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=0)=0,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=1)=0,2 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ der Gewinn nach 100 Spielen.

Meine Idee ist:

$\begin{eqnarray*} X_4=X_{\text{Spiel}1}+\hdots +X_{\text{Spiel}100} \end{eqnarray*}$

Hierbei sind ja $\begin{eqnarray*} X_{\text{Spiel} i}, i=1,...,100 \end{eqnarray*}$ identisch verteilt und unabhängig. Außerdem existieren jeweils der Erwartungswert (-0,1) und die Varianz (0,34) und sind endlich. Die standardisierte ZV müsste daher punktweise gegen die Standardnoralverteilung konvergieren.

Oder konkreter gefragt:

Greift hier der Zentrale Grenzwertsatz, sodaß man sagen kann, daß $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ als approximative Verteilung die Standardnormalverteilung besitzt?

08.11.2011, 19:46

Gast11022013

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Also was ich meine ist, daß man doch $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ standardisieren kann und die Verteilungsfunktion dieser Standardisierung ist doch dann punktweise konvergent gegen die Standardnormalverteilung.

Kann man die Frage also beantworten mit:

$\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ besitzt als approximative Verteilungsfunktion die Standardnormalverteilung?

08.11.2011, 21:02

Gast11022013

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Nee Quatsch!!

Wenn die standardisierte Summe approximativ $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$ -verteilt ist, dann ist die (ursprüngliche) Summe approximativ $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(n\mu,n\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt.

Also hier: $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(-10,34) \end{eqnarray*}$

Korrekt?

09.11.2011, 10:44

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Nee Quatsch!!

Wenn die standardisierte Summe approximativ $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$ -verteilt ist, dann ist die (ursprüngliche) Summe approximativ $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(n\mu,n\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt.

Also hier: $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(-10,34) \end{eqnarray*}$

Korrekt?

Korrekt.

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