Teilfolge - Folge

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08.11.2011, 13:45

Matheversteher

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Teilfolge - Folge

hallo matheboarder Wink

ich sitze an folgender aufgabe (wie immer eigentlich wenn ich hier was schreibe Augenzwinkern

)
die aufgabe befindet sich im anhang.

ich bleibe zu beginn bei aufgabe a)
zum einen verstehe ich nicht, was meine folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist. ich habe ja nur die folge $\begin{eqnarray*} a^{'}_n \end{eqnarray*}$ gegeben.
oder ist $\begin{eqnarray*} a^{'}_n \end{eqnarray*}$ jetzt eine teilfolge von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

wir haben noch das cauchykriterium mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|<\epsilon \end{eqnarray*}$ "kennen" gelernt. leider weis ich nicht so wirklich wie und wo ich es anwenden soll.vllt könnt ihr mir auch sagen wann ich sehe ob ich es anwenden muss. verwirrt

ja fragen über fragen aber ich hoffe ihr könnt mir helfen und meine fragen beantworten.

08.11.2011, 14:23

Verkasematucker

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RE: Teilfolge - Folge
$\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige reelle Zahlenfolge.

In Teil a) sollst Du folgende Implikation beweisen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=a\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(\frac 1n\sum_{k=1}^na_k\right)=a. \end{eqnarray*}$

Dabei könntest Du z.B. die Kgz von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ so ausschlachten, dass Du zu beliebigem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ab einem $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ folgende Abschätzung hast:

$\begin{eqnarray*} |a_n-a| < \varepsilon\text{ für alle }n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

In Teil b) könntest Du erwägen eine divergente, alternierende Folge zur Konstruktion des Gegenbeispiels zu nutzen.

08.11.2011, 21:47

Matheversteher

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hallo verkasematucker (ich glaube das ist bereits das zweite mal dass du mir innerhalb weniger tage helfen möchtest. smile

das heißt ich werde in a einfach wieder alles nach schema f durchrechnen? werde ich tun. ich verstehe aber nicht ,warum dann einmal die folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ heißt und einmal $\begin{eqnarray*} a^{'}_n \end{eqnarray*}$ . kannst du mir das vllt noch erklären? Ups

08.11.2011, 22:25

Verkasematucker

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Zitat:

Original von Matheversteher
Ich verstehe aber nicht ,warum dann einmal die folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ heißt und einmal $\begin{eqnarray*} a^{'}_n \end{eqnarray*}$ . kannst du mir das vllt noch erklären? Ups

Weil es sich um zwei verschieden Folgen handelt.
Vorgegeben ist eine beliebige konvergente reelle Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=a \end{eqnarray*}$ , auf deren Basis dann eine weitere Folge

$\begin{eqnarray*} a_n'= \frac 1n\sum_{k=1}^na_k\text{ oder nenn sie von mir aus auch }\mathrm{Horst}_n = \frac 1n\sum_{k=1}^na_k \end{eqnarray*}$

definiert wird.

08.11.2011, 23:22

Matheversteher

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ahh okee verstanden, glaube ich. dann ist also

$\begin{eqnarray*} a_n'= \frac 1n\sum_{k=1}^na_k \end{eqnarray*}$
(doch) eine teilfolge von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ . so wie ich es im ersten post schon einmal "vermutet" hatte.
dann weis ich doch nicht so wirklic hwas ich machen muss. wie zeige ich das dann? ich meine, wir haben die definition gehabt von wegen, dass die teilfolge einer konvergenten folge auch konvergent ist und dass sie den selben grenzwert haben.

mhhh so wirklich sit mir nicht klar wie ich argumentieren muss.

wenn ich zum beispiel ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} |a_n-a|\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt dann ist für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ diese bedingung erfüllt.

für die teilfolge würde dann gelten, dass es ein $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ gibt mit für das $\begin{eqnarray*} |a_n-a|\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt. und mit $\begin{eqnarray*} k_0\geq n_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert das ja auch.

ist sowas gefragt oder bin ich hier am holzweg? Lesen2

08.11.2011, 23:29

Verkasematucker

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Holzweg!
Guck Dir nochmal genau an wie eine Teilfolge definiert ist!

Geduld zählt leider nicht zu meinen Tugenden, daher mag Dir weiterhelfen wer auch immer sich dazu berufen fühlt.

Mucha Suerte!

09.11.2011, 12:22

Matheversteher

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so habe jetzt nochmal eine nacht über diese aufgabe geschlafen. so nachdem ich heute morgen erneut über die aufgabe geschaut habe bin ich noch keinen deut schlauer geworden. eine eingebung habe ich somit nicht, von wegen was ich jetzt machen soll.
Verkasematucker hat die segel gestrichen. kann mich dann jemand anderes hier auf den pfad der tugend geleiten? traurig

09.11.2011, 18:50

Matheversteher

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keiner da der Verkasematucker ersetzen möchte?

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