Konvergenz

08.11.2011, 14:54

Youfla

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Konvergenz

Hallo, ich bin mir bei folgender Aufgabe nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll: a) Sei $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{2k+1}{k²\left(k+1\right)²} , n\in \mathbb N. \end{eqnarray*}$ Weisen sie nach, dass diese Folge konvergiert, und berechnen sie den zugehörigen Grenzwert. Ich hätte jetzt einfach für k zahlen von 1 bis z.b. 4 eingesetzt...?

08.11.2011, 14:58

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Youfla
Ich hätte jetzt einfach für k zahlen von 1 bis z.b. 4 eingesetzt...?

Und was hättest du damit erreicht? Daß man bei der Addition von 4 Zahlen einen endlichen Wert erhält, überrascht nun nicht wirklich. smile

smile

08.11.2011, 15:02

René Gruber

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Aufgrund von $\begin{eqnarray*} (k+1)^2-k^2=2k+1 \end{eqnarray*}$ liegt hier eine waschechte Teleskopsumme vor.

08.11.2011, 15:13

Youfla

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hmm.. je größer k ist desto kleiner wird der Wert, und wenn k --> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht dann geht der Wert gegen 0... Ist das richtig? oder wie würdest du vorgehen`?

08.11.2011, 15:15

klarsoweit

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Der Wert der Summanden geht gegen Null. Das ist aber keine Garantie, daß auch die Summe als solche konvergiert.

Das relevante Stichwort hat René schon geliefert.

08.11.2011, 16:29

Youfla

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Ich hab es gerade ausgerechnet, für k =1 hab ich 3=3 für k=2 hab ich 5=5, kann es sein dass die gleichung divergent ist?

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08.11.2011, 16:56

René Gruber

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Zitat:

Original von Youfla
für k =1 hab ich 3=3 für k=2 hab ich 5=5, kann es sein dass die gleichung divergent ist?

Wovon redest du bitte? Es geht um die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} \end{eqnarray*}$ , und mit der haben deine Zahlen nicht viel zu tun.

08.11.2011, 16:58

BULLs3Y3

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naja rene mit deinen kommentaren hilfst du ihm ja nicht gerade weiter sorry youfla ich kenn mich mit dem thema net so aus sonst würde ich dir helfen

08.11.2011, 17:02

René Gruber

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Na der Kommentar war ja auf jeden Fall viel, viel hilfreicher. Finger1

Finger1

Es geht hier um Hochschulmathematik, und da ist es sicher nicht zuviel verlangt, dass sich die Leute verständlicher ausdrücken als mit sowas wie "für k =1 hab ich 3=3 für k=2 hab ich 5=5". unglücklich

unglücklich

08.11.2011, 18:54

BULLs3Y3

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also ich hab mal in nem buch geschaut das ich zu hause habe und da das beispiel gefunden

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \frac{1}{k(k+1)} <br /> \sum\limits_{k=1}^n k (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1)} \end{eqnarray*}$

das ist dann die teleskopsumme

wie man das auf diese aufgabe überträgt weiss ich net da mich der zähler leider überfordert hoffe ich konnte dir dennoch ein wenig helfen

08.11.2011, 19:24

René Gruber

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Dein Beispiel einer Teleskopreihe ist zwar völlig misslungen, aber der gute Wille (nicht nur Spambeiträge zu verfassen) zählt.

--------------------

Der obige Hinweis war natürlich so gemeint, den Zähler entsprechend umzuformen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2} = \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2} \right) \end{eqnarray*}$

08.11.2011, 19:44

Youfla

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Demnach wäre der nächste schritt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n1 - \frac{1}{\left(n+1\right)² } \end{eqnarray*}$

08.11.2011, 19:49

René Gruber

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Die Summe gehört da nicht mehr hin, du meinst hoffentlich $\begin{eqnarray*} a_n = 1 - \frac{1}{\left(n+1\right)^2} \end{eqnarray*}$ , das wäre richtig.

08.11.2011, 19:51

Youfla

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ja genau meint $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ also konvergiert die reihe und ihre summe ist 1

08.11.2011, 19:52

René Gruber

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Genau.

Freude

08.11.2011, 19:59

BULLs3Y3

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ne frage rene da wo du die reihen so umgeformt hast wie kamst du vom 2.schritt zum 3.schritt also dass der zähler dann bei beiden 1 ergibt

08.11.2011, 20:08

Youfla

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Vielen Dank Réne!!! warst mir ne große Hilfe!

08.11.2011, 21:27

René Gruber

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@BULLs3Y3

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2} = \frac{(k+1)^2}{k^2(k+1)^2} - \frac{k^2}{k^2(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

und dann jeweils kürzen. War das die Frage?

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