Wurzelbruch und komplexe Zahlen

08.11.2011, 15:37

Küken300

Wurzelbruch und komplexe Zahlen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
grundsätzlich gilt doch:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$
oder?

Warum ist das dann hier nicht der Fall?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{-1} } \neq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich seh' schon ein, dass es nicht stimmen kann:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{-1} } = \sqrt{-1} = i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i \end{eqnarray*}$

Aber wieso gilt hier nicht:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$ ?

Gibt's da bei den komplexen Zahlen eine Ausnahme?

Danke euch!

08.11.2011, 16:12

galoisseinbruder

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Richtig die Gleichheit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$ gilt nur für nicht-negative x,y.
Für komplexe Zahlen, oder auch (nur) negative reelle Zahlen, gilt dies nicht mehr, da - im Gegensatz zu den nicht-negativen reellen Zahlen - die Wurzel einer komplexen Zahl nicht eindeutig definiert ist. Siehe dazu z.B.Wikipedia.
Im Übrigen haben sowohl i als auch -i berechtigten Anspruch auf den Titel $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ , denn es gilt $\begin{eqnarray*} i^2=(-i)^2=-1 \end{eqnarray*}$ .

08.11.2011, 16:21

https://mathe

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Zitat:

Richtig die Gleichheit gilt nur für reelle x,y.

Zitat:

Warum ist das dann hier nicht der Fall? $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{-1} } \neq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} \end{eqnarray*}$

x und y sind hier doch reell Big Laugh