Maximalen Flächeninhalt bestimmen |
08.11.2011, 15:57 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Maximalen Flächeninhalt bestimmen Guten Tag! Die mir vorliegende Aufgabe lautet: Die Punkte A(0/0), B(t/g(t)) und C(t/F(t)) bilden für t>0 ein Dreieck. Bestimmen Sie t so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird. Die dazugehörigen Funktionen sind: f(x)=4x*e^-0,5x und: g(x)=-4*e^-0,5x Meine Ideen: Berechnet habe ich zunächst den Flächeninhalt A(t): A(t)=2t^2*e^-0,5t+2te^-0,5t Mir ist nun aber schleierhaft, wie ich t so wählen kann, dass der Flächeninhalt maximal wird. Welche lokalen und globalen Maxima muss ich denn dafür ausrechnen?! Für jegliche Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar! Schönen Tag noch! Elli |
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08.11.2011, 16:18 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was eine Ableitung ist ist bekannt? |
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08.11.2011, 16:32 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Imgrunde keine, bloß die Funktionen f und g. Die müssten dann abgeleitet werden... ._. |
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08.11.2011, 16:34 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da Du den Flächeninhalt maximieren willst, leite doch mal die Fläche A(t) nach t ab. |
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08.11.2011, 16:39 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, aber wie geht's dann weiter? Übriegens: Danke |
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08.11.2011, 16:40 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie sonst auch bei der Bestimmung von Extremwerten: Nullstellen suchen und überprüfen ob und welche Extrema das sind. |
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08.11.2011, 16:47 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nochmal zum mitschreiben: Ich soll erst A(t) nach t auflösen und anschließend die Extrema ebenfalls von A(t) berechnen? |
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08.11.2011, 16:55 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo habe ich denn was von auflösen gesagt? Mal ganz abgesehen davon dass A(t) keine Gleichung ist, und nur Gleichungen nach t aufgelöst werden könne. Vielleicht war das etwas unklar:
Die Nullstellen beziehen sich natürlich auf die Ableitung, sprich gesucht sind die t mit A'(t)=0 |
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08.11.2011, 17:03 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, war grad auch was verdutzt... Also reichen dann die lokalen Maxima von A'(t)=0 aus oder sind die globalen ebenfalls relevant für den maximalen Flächeninhalt? |
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08.11.2011, 17:10 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bevor wir uns mit globalen Maxima befassen solltest Du Dir noch überlegen ob Deine Funktion wirklich für alle t die Fläche bechreibt. Ich behaupte sie tut´s nicht für t<1. |
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08.11.2011, 17:16 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie kommst du darauf? |
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08.11.2011, 17:25 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hatte bisher geistig ausgeblendet, dass dein A(t) falsch ist.
Du rechnest A aus mittels 0,5*Grundlinie*h. Für die Höhe nehmen wir t und die Grundlinie (die Seite a) hat dann die Länge: |F(t)-g(t)| (die Differenz der y-Koordinaten von B und C) |
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08.11.2011, 17:47 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber die Differenz der y-Koordinaten von B und C wäre doch dann |f(t)-g(t)| für die Grundseite. Oder aus welchem Grund benutzt du die Stammfunktion von f(t)? |
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08.11.2011, 17:54 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
habe mich an die Notation gehalten. Aber ich nehme meinen Einwand zurück, da ich das - in
Das A(t) ist richtig. Also Du hast jetzt die Extremstellen berchnet. Ist eine davon ein Maximum? Gibt es einen Wert der größer sein könnte? |
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08.11.2011, 18:25 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ouh, sorry. Da hab ich mich vertippt! Nun ja, ich hab jetzt eine Maximumstelle bei -2 ermitteln können - Vorausgesetzt, ich hab A'(t) und A''(t) richtig abgeleitet... |
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08.11.2011, 18:38 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist Dein A'(t)? A'(t) müsste auch 2 Nullstellen haben. |
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08.11.2011, 19:06 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mist, hatte ich ja ganz vergessen... A'(t) ist laut meiner Rechnung: A'(t)=(t^2 +3t+2)*e^-0,5t Und damit ist auch die zweite Stelle im negativen Bereich... |
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08.11.2011, 19:09 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich krieg: . Beachte: . Das hat auch eine positive Nullstelle. |
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08.11.2011, 19:15 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab e^-0,5t auch so abgeleitet, weiß grad nicht, wo ich den Fehler gemacht hab. Wie auch immer... Dann ist also eine der Extremstellen ~3,56? |
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08.11.2011, 19:24 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau die meine ich (genauer). Jetzt bleibt nur noch: Warum ist die ein (lokales) Maximum und warum sogar ein globales Maximum? |
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08.11.2011, 19:32 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ähm... Weil A''(~3,56)<0? |
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08.11.2011, 19:43 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit lokal. Warum ist es auch ein globales? (Schau Dir die Funktion A(t) an, wie sieht die grob im Bereich t>0 aus?) |
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08.11.2011, 19:50 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tja, wenn ich darauf eine Antwort parat hätte... :B Ich würd jetzt einfach sagen, dass e^-0,5t die Funktion dominiert und sie daher für t>0 gegen 0 laufen müsste. |
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08.11.2011, 19:57 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das
ist ganz ungut formuliert. Was Du wohl meinst, und was auch richtig ist, ist , A(t) läuft fur t gegen unendlich gegen 0. Nutze, dass für positive t nur eine Extremstelle vorhanden ist. |
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08.11.2011, 20:06 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie soll ich das nutzen, um das globale Maximum zu bestimmen? |
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08.11.2011, 20:12 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn es einen noch größeren Wert (für A(t)), sagen wir an der Stelle s, gäbe (anschaulich: einen höheren Berg) was muss dann zwischen s und 3,56 sein? |
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08.11.2011, 20:19 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine lokale Minimumstelle? |
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08.11.2011, 20:22 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Was sagt uns dass für unsere Aufgabe? |
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08.11.2011, 20:26 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da t gegen Unendlich gegen 0 läuft, gibt es an den Rändern keine weiteren Maxima und damit ist 3,56 auch das globale Maximum der Funktion. Oder so ähnlich |
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08.11.2011, 20:28 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Viel einfacher: Wir haben gezeigt dass es nur eine Extremstelle, ein Maximum, für t>0 gibt. Wäre das nicht das globale Maximum so müsste es ein Minimum geben, was nicht sein kann, da nur eine Extremstelle. |
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08.11.2011, 20:34 | Nudelsalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt! Dann ist die Aufgabe ja fertig. Danke für den Beistand und die Geduld! (: Schönen Abend noch! |
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