Maximalen Flächeninhalt bestimmen

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Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »
Maximalen Flächeninhalt bestimmen
Meine Frage:
Guten Tag!

Die mir vorliegende Aufgabe lautet:

Die Punkte A(0/0), B(t/g(t)) und C(t/F(t)) bilden für t>0 ein Dreieck.
Bestimmen Sie t so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.

Die dazugehörigen Funktionen sind:

f(x)=4x*e^-0,5x

und:

g(x)=-4*e^-0,5x

Meine Ideen:
Berechnet habe ich zunächst den Flächeninhalt A(t):

A(t)=2t^2*e^-0,5t+2te^-0,5t

Mir ist nun aber schleierhaft, wie ich t so wählen kann, dass der Flächeninhalt maximal wird. Welche lokalen und globalen Maxima muss ich denn dafür ausrechnen?!

Für jegliche Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar!
Schönen Tag noch!

Elli
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was eine Ableitung ist ist bekannt?
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Imgrunde keine, bloß die Funktionen f und g.
Die müssten dann abgeleitet werden... ._.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Da Du den Flächeninhalt maximieren willst, leite doch mal die Fläche A(t) nach t ab.
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber wie geht's dann weiter?

Übriegens: Danke Big Laugh
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sonst auch bei der Bestimmung von Extremwerten:
Nullstellen suchen und überprüfen ob und welche Extrema das sind.
 
 
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zum mitschreiben:

Ich soll erst A(t) nach t auflösen und anschließend die Extrema ebenfalls von A(t) berechnen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wo habe ich denn was von auflösen gesagt? Mal ganz abgesehen davon dass A(t) keine Gleichung ist, und nur Gleichungen nach t aufgelöst werden könne.
Vielleicht war das etwas unklar:
Zitat:
Wie sonst auch bei der Bestimmung von Extremwerten: Nullstellen suchen und überprüfen ob und welche Extrema das sind.

Die Nullstellen beziehen sich natürlich auf die Ableitung, sprich gesucht sind die t mit A'(t)=0
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, war grad auch was verdutzt...

Also reichen dann die lokalen Maxima von A'(t)=0 aus oder sind die globalen ebenfalls relevant für den maximalen Flächeninhalt?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor wir uns mit globalen Maxima befassen solltest Du Dir noch überlegen ob Deine Funktion wirklich für alle t die Fläche bechreibt. Ich behaupte sie tut´s nicht für t<1.
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommst du darauf?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte bisher geistig ausgeblendet, dass dein A(t) falsch ist.
Zitat:
.
Du rechnest A aus mittels 0,5*Grundlinie*h. Für die Höhe nehmen wir t und die Grundlinie (die Seite a) hat dann die Länge: |F(t)-g(t)| (die Differenz der y-Koordinaten von B und C)
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Differenz der y-Koordinaten von B und C wäre doch dann |f(t)-g(t)| für die Grundseite.
Oder aus welchem Grund benutzt du die Stammfunktion von f(t)?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
A(0/0), B(t/g(t)) und C(t/F(t))

habe mich an die Notation gehalten. Aber ich nehme meinen Einwand zurück,
da ich das - in
Zitat:
g(x)=-4*e^-0,5x
überlesen hab.
Das A(t) ist richtig.
Also Du hast jetzt die Extremstellen berchnet. Ist eine davon ein Maximum?
Gibt es einen Wert der größer sein könnte?
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Ouh, sorry. Da hab ich mich vertippt!
Nun ja, ich hab jetzt eine Maximumstelle bei -2 ermitteln können - Vorausgesetzt, ich hab A'(t) und A''(t) richtig abgeleitet...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
t>0
laut Deiner Angabe, also fällt t=-2 flach.
Was ist Dein A'(t)? A'(t) müsste auch 2 Nullstellen haben.
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Mist, hatte ich ja ganz vergessen...
A'(t) ist laut meiner Rechnung:

A'(t)=(t^2 +3t+2)*e^-0,5t

Und damit ist auch die zweite Stelle im negativen Bereich...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich krieg:
.
Beachte: .
Das hat auch eine positive Nullstelle.
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab e^-0,5t auch so abgeleitet, weiß grad nicht, wo ich den Fehler gemacht hab.
Wie auch immer...

Dann ist also eine der Extremstellen ~3,56?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Genau die meine ich (genauer).
Jetzt bleibt nur noch:
Warum ist die ein (lokales) Maximum und warum sogar ein globales Maximum?
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm... Weil A''(~3,56)<0? Ups
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Damit lokal. Warum ist es auch ein globales?
(Schau Dir die Funktion A(t) an, wie sieht die grob im Bereich t>0 aus?)
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wenn ich darauf eine Antwort parat hätte... :B
Ich würd jetzt einfach sagen, dass e^-0,5t die Funktion dominiert und sie daher für t>0 gegen 0 laufen müsste.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das
Zitat:
daher für t>0 gegen 0 laufen müsste.

ist ganz ungut formuliert. Was Du wohl meinst, und was auch richtig ist, ist
, A(t) läuft fur t gegen unendlich gegen 0.
Nutze, dass für positive t nur eine Extremstelle vorhanden ist.
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich das nutzen, um das globale Maximum zu bestimmen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es einen noch größeren Wert (für A(t)), sagen wir an der Stelle s, gäbe (anschaulich: einen höheren Berg) was muss dann zwischen s und 3,56 sein?
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lokale Minimumstelle?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Was sagt uns dass für unsere Aufgabe?
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Da t gegen Unendlich gegen 0 läuft, gibt es an den Rändern keine weiteren Maxima und damit ist 3,56 auch das globale Maximum der Funktion. Oder so ähnlich Big Laugh
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Viel einfacher: Wir haben gezeigt dass es nur eine Extremstelle, ein Maximum, für t>0 gibt.
Wäre das nicht das globale Maximum so müsste es ein Minimum geben, was nicht sein kann, da nur eine Extremstelle.
Nudelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt!
Dann ist die Aufgabe ja fertig.
Danke für den Beistand und die Geduld! (:

Schönen Abend noch!
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