problem boundary conditions (partielle differentialgleichung)

08.11.2011, 16:15	sl33ping	Auf diesen Beitrag antworten »
problem boundary conditions (partielle differentialgleichung) Meine Frage: Hallo, ich probiere eine Lösung für eine partielle Differentialgleichung zu finden, habe jedoch Probleme beim Benutzen der boundary conditions. Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} \frac{d² v}{d r²}+\frac{1}{r}\frac{dv}{dr} +\frac{1}{r²} \frac{d²v}{d phi²} =0 \end{eqnarray}$ in R<r Boundary conditions: $\begin{eqnarray} v(R, phi) = 0<br /> \frac{dv(R,phi)}{dr}=\frac{cos(n\cdot phi)}{n}<br /> \end{eqnarray}$ Man soll die solution für v(r, phi) finden. Meine Ideen: Ich hab den ganzen Spaß mal mit seperation of variables gemacht (lass die Zwischenschritte hier mal weg). Hier kam ich dann auf die general solution: $\begin{eqnarray} v(r,phi) = C + \sum\limits_{n=1}^\infty r^{n} [a_{n}\cdot cos(n\cdot phi)+b_{n} \cdot sin(n\cdot phi)] \end{eqnarray}$ C, a_n und b_n sind Konstanten, die ich mit den boundary conditions gedenke zu finden. Jetzt kommt der Punkt, wo es bei mir nicht klappt. Ich hab das ganze mit Fourier lösen wollen. Jedoch würden hiermit durch einsetzen der ersten BC alle Konstanten gleich Null werden, was wohl kaum der Zweck sein kann. Wie kann ich mit den BCs auf die Konstanten kommen? Würd mich auf eure Hilfe freuen!
09.11.2011, 13:04	sl33ping	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre meine Frage deutlicher, wenn ich noch meinen Versuch mit Fourier hinzuschreiben würde?
09.11.2011, 14:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Physikalisch kann man dein Problem wie folgt interpretieren: Man hat ein rundes Blech, auf dessen kreisförmigen Rand proportional zur Funktion $\begin{eqnarray} \tfrac{\cos(n \phi)}{n} \end{eqnarray}$ Wärmequellen angebracht sind (also abwechslend warm und kalt). Gesucht ist die stationäre Temperaturverteilung, die sich im Blech einstellt. --------- Nun zur Randbedingung: Man beseitigt die Randbedingung, indem man anstelle der Temperatur $\begin{eqnarray} v(r,\phi) \end{eqnarray}$ die Hilfsvariable $\begin{eqnarray} u(r,\phi) \end{eqnarray}$ durch folgende Substitution einführt: $\begin{eqnarray} v=u+r \cdot \tfrac{\cos(n \phi)}{n} \end{eqnarray}$ Die Ableitung nach r lautet demnach $\begin{eqnarray} v_r=u_r+\tfrac{\cos(n \phi)}{n} \end{eqnarray}$ Setzt man dies mit der alten Randbedingung $\begin{eqnarray} v_r=\tfrac{\cos(n \phi)}{n} \end{eqnarray}$ gleich, bekommt man folgende Randbedingung für die neue Funktion u: $\begin{eqnarray} u_r=0 \end{eqnarray}$ Diese Randbedingung ist homogen. Das war der Sinn der Sache! Setzt man den obigen Ansatz auch in die Dgl. ein, erhält man folgende inhomogene Dgl. für die neue Funktion u: $\begin{eqnarray} ( u+r \cdot \tfrac{\cos(n \phi)}{n})_{rr}+\tfrac{1}{r} ( u+r \cdot \tfrac{\cos(n \phi)}{n})_r+\tfrac{1}{r^2}(u+r \cdot \tfrac{\cos(n \phi)}{n})_{\phi \phi}=0 \end{eqnarray}$ Ausdifferenzieren und Umordnen ergibt folgende inhomogene Dgl. für die neue Variable u. $\begin{eqnarray} u_{rr}+\tfrac{1}{r} u_r +\tfrac{1}{r^2}u_{\phi \phi}=\underbrace{\tfrac{\cos(n \phi)}{r}\cdot (n-\tfrac{1}{n})}_{\text{Inhomogenität}} \end{eqnarray}$ Physikalisch entspricht dies wiederum einem runden Blech, dessen Rand konstant auf der Temperatur u=0 gehalten wird und in dessen Inneren lokale Wärmequellen vorhanden sind (=Inhomogenitäten). Diese Problem ist mit der Fourierschen Methode lösbar.
09.11.2011, 14:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade: In deiner Aufgabe ist nicht nur eine Randbedingung gegeben, sondern beide Randbedingungen (erster und zweiter Art). In diesem Falle ist das Problem viel einfacher als von mir oben beschrieben. Dafür gibt es nämlich eine fertige Formel, welche die Lösung für alle inneren (oder äußeren) Punkte sofort angibt. Mir fällt jetzt der Name der Formel nicht ein. Aber sieh' mal in deinen Unterlagen nach. Das ist das erste, was in diesem Zusammenhang behandelt wird.

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