Äquivalenzrelation auf N beweisen

08.11.2011, 19:25	brenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation auf N beweisen Meine Frage: Hi Mathefreunde. Ich bräuchte einen Tipp bei folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} R(n)=\left\{(k,l)\in \mathbb N ²:\exists m\in Z: k=m\cdot n + l\right\}\subset \mathbb N ², n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Für welche n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist R(n) eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Ich bin so rangegangen: n=1 Reflexivität gilt, denn k=k. Symmetrie gilt, denn k=m+l <=> m+l=k Transitivitä gilt, denn k=m+l <=> m+l=p <=> k=p wenn ich demnach n=2 setze und k=2m+l ist, dann gilt das auch. Ich gehe also davon aus, dass es immer geht, aber das wäre zu einfach, ich hab sicherlich einen fundamentalen Fehler gemacht. Könnt ihr mir da helfen?
08.11.2011, 21:09	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Aussage stimmt für alle n. Zieh Deinen Beweis einfach für beliebiges n durch. Um Dich zu überzeugen, dass es stimmt schreib ich die Relation etwas um: $\begin{eqnarray} (k,l)\in R(n) \Leftrightarrow \exists m\in \mathbb{Z}: k-l=m \cdot n \Leftrightarrow n\|(k-l) \end{eqnarray}$

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