Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar |
08.11.2011, 19:37 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar Es sei A eine reelle Matrix, so dass die Gleichung Ax = 0 nur endlich viele Lösungen hat. Beweisen Sie, dass A invertierbar ist. Meine Ideen: Ich dachte mir, dass ich zuerst einmal zeige, dass die Matrix für nur die triviale Lösung invertierbar ist. Das hatten wir in der Vorlesungen (allerdings für quadratsche Matrizen; ich nehme an, dass die hier gemeint sind?) Dann möchte ich zeigen, dass A auch invertierbar ist, wenn die Gleichung n viele Lösungen mit n beliebig aber fest hat. Da komme ich nicht weiter. Nicht mit Elementarmatrizen und nicht mit Proberechnen. |
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09.11.2011, 18:13 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar Hab hier auch ne Frage: Wenn A eine Nullzeile hat, dann wäre Ax=0 erfüllt, A wäre aber doch nicht mehr invertierbar, oder nicht? |
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09.11.2011, 18:32 | Hansen38 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar hat A nur endlihc viele Lösungen, dann ist der Lösungsraum sofort {0}. Warum kann man sich leicht überlegen. |
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09.11.2011, 18:35 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar Betrachten wir folgendes Beispiel hierfür: |
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09.11.2011, 18:42 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar A kann aber in diesem Beispiel nicht invertierbar sein |
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09.11.2011, 18:52 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar Irre ich mich hier? Könnte einer helfen |
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09.11.2011, 19:02 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar Kann es sein, dass mit reeller Matrix eine 1x1 Matrix gemeint ist, dann wäre die Lösung trivial. |
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09.11.2011, 19:04 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
hat unendlich viele Lösungen, ist damit kein Gegenbeispiel. Mit dem Hinweis von Hansen38 und dem was der Fragensteller geschrieben hat ist die Aufgabe damit schon fast durch. |
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09.11.2011, 21:35 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar Wir müssen erst zeigen, dass die Gleichung Ax=0 (mit endlicher Lösungsmenge) nur die Lösung x=0 hat. Wenn für Ax=0 gelten würde, dass A die Nullmatrix ist, so gäbe es eine unendliche Lösungsmenge, also A=0 ausgeschlossen. So muss x=0 sein. Damit ist aber A ein Produkt aus Elementarmatrizen (schon in der vorlesung bewiesen). Da Elementarmatrizen invertierbar sind, ist auch das Produkt von Elementarmatrizen invertierbar. Somit ist auch A invertierbar. Damit müsste die Aufgabe eigentlich bewiesen sein. Mich stört allerdings folgendes: Nun mein vorheriges Gegenbeispiel ging so ziemlich in die Hose Aber wir können doch trotzdem nicht ausschließen dass (müssen wir diesen Fall eigentlich auch in den Beweis mit einbringen?): Ax=0 für und Z.B: hat die Lösungsmenge x=0 und trotzdem ist A nicht invertierbar. Wo ist hier mein Denkfehler? edit: vergesst das hier fürs erste (sorry): Ax=0 für und |
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09.11.2011, 21:44 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@chi: dass die Lösungsmenge alle Vielfachen und Summen von (also den aufgespannten Unterraum) enthält. Dein "Beweis" ist daher auch falsch. Ich rate Dir mindestens den Gauß-Algorithmus nochmal anzuschauen. |
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09.11.2011, 21:58 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Das habe ich doch eigentlich nicht behauptet. In meiner Beweisführung zeige ich doch erst, dass die Lösungsmenge nur aus x=0 besteht. Somit kann ich ja den bewiesenen Satz anweden und "sagen", dass A invertierbar ist, da es ein Produkt von Elementarmatrizen ist. Der Satz lautet: Sei A eine quadratische Matrix, dann gilt folgende Äquivalenz: 1) A ist invertierbar 2) Ax=0 hat nur triviale Lösung 3) A ist ein Produkt von Elementarmatrizen |
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09.11.2011, 22:01 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar was mich halt gestört hat sind: 1) das Beispiel: 2) müssen wir den Fall Ax=0 für und auch irgendwie ausschließen. |
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09.11.2011, 22:06 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Deshalb habe ich es gelesen als . Ax=0 hat nur die triviale Lösung. Alternativ könnte ich es auch lesen als ist ein Gleichungssystem mit dem Nullvektor als einziger Lösung. Das ist genauso falsch, denn das triviale gleichungssystem hat den ganzen als Lösungsmenge. |
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09.11.2011, 22:16 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar Ich meinte tatsächlich so: mit Ax=0. Die Lösungsmege besteht doch hier nur aus dem Nullvektor oder nicht (also es gibt nur eine endliche Lösungsmenge)? Verstehe nicht warum K^3 die ganze Lösungsmenge sein soll. Bitte um Aufklärung edit: vergesst das hier : Ax=0 für und fürs erste, also speziell für dieses Beispiel (sorry) |
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09.11.2011, 22:17 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Antwort dazu ist mein Post um 21:44. Die Lösungsmenge ist nicht endlich. Edit als Reaktion auf den edit: Wenn Du als GLS auffasst ist es dass GLS 0=0, dass immer erfüllt ist. Da die verwendete Matrix eine -Matrix war ist 0 der Nullvektor mit drei Einträgen, wir sind also in (wobei K den Grundkörper des ganzen bezeichnet, im konkreten fall hier ) |
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09.11.2011, 22:26 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar OOHH Maaannn, verstehe was du meinst, habs grad gesehen edit: Ist der Beweis ansonsten korrekt? |
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09.11.2011, 22:32 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis ist in der momentanen Fassung richtig. Allerdings könnte es sein, dass hierfür:
in der Vorlesung die zu zeigende Aussage verwendet wurde. |
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09.11.2011, 22:34 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar verwendet wurde, dass die Ax=0 nur die triviale Lösung besizt. |
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09.11.2011, 22:35 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann ist es in Ordnung. Wollte nur einen Zirkelschluss ausschließen. |
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09.11.2011, 22:38 | chi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar Was ist mit dem Fall Ax=0 für und . Anhand von Bepielen könnte ich dann zwar zeigen, dass es dann eine unendliche Lösungsmenge gibt, aber wie geht man vor, wenn man das allgemein zeigen soll? edit: oder ist dieser einfach wegzulassen? |
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09.11.2011, 22:46 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist eine Lösung von so auch alle Vielfachen von x: . (Hier damit unendlich viele Lösungen) |
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14.11.2011, 15:21 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
äh, mal zurück zur Frage. was mach ich denn nu mit dem beweis? |
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14.11.2011, 15:21 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, zweite seite nicht gesehen... |
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