Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar

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isa85 Auf diesen Beitrag antworten »
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Meine Frage:
Es sei A eine reelle Matrix, so dass die Gleichung
Ax = 0
nur endlich viele Lösungen hat. Beweisen Sie, dass A invertierbar ist.

Meine Ideen:
Ich dachte mir, dass ich zuerst einmal zeige, dass die Matrix für nur die triviale Lösung invertierbar ist. Das hatten wir in der Vorlesungen (allerdings für quadratsche Matrizen; ich nehme an, dass die hier gemeint sind?)
Dann möchte ich zeigen, dass A auch invertierbar ist, wenn die Gleichung n viele Lösungen mit n beliebig aber fest hat. Da komme ich nicht weiter. Nicht mit Elementarmatrizen und nicht mit Proberechnen.
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Hab hier auch ne Frage:
Wenn A eine Nullzeile hat, dann wäre Ax=0 erfüllt, A wäre aber doch nicht mehr invertierbar, oder nicht?
Hansen38 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
hat A nur endlihc viele Lösungen, dann ist der Lösungsraum sofort {0}. Warum kann man sich leicht überlegen.
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Betrachten wir folgendes Beispiel hierfür:
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
A kann aber in diesem Beispiel nicht invertierbar sein
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Irre ich mich hier?
Könnte einer helfen
 
 
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Kann es sein, dass mit reeller Matrix eine 1x1 Matrix gemeint ist, dann wäre die Lösung trivial.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Zitat:
Original von chi
Betrachten wir folgendes Beispiel hierfür:

hat unendlich viele Lösungen, ist damit kein Gegenbeispiel.
Mit dem Hinweis von Hansen38 und dem was der Fragensteller geschrieben hat ist die Aufgabe damit schon fast durch.
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Wir müssen erst zeigen, dass die Gleichung Ax=0 (mit endlicher Lösungsmenge) nur die Lösung x=0 hat.
Wenn für Ax=0 gelten würde, dass A die Nullmatrix ist, so gäbe es eine unendliche Lösungsmenge, also A=0 ausgeschlossen.
So muss x=0 sein. Damit ist aber A ein Produkt aus Elementarmatrizen (schon in der vorlesung bewiesen). Da Elementarmatrizen invertierbar sind, ist auch das Produkt von Elementarmatrizen invertierbar. Somit ist auch A invertierbar. Damit müsste die Aufgabe eigentlich bewiesen sein.

Mich stört allerdings folgendes:
Nun mein vorheriges Gegenbeispiel ging so ziemlich in die Hose Big Laugh
Aber wir können doch trotzdem nicht ausschließen dass (müssen wir diesen Fall eigentlich auch in den Beweis mit einbringen?):

Ax=0 für und
Z.B:
hat die Lösungsmenge x=0 und trotzdem ist A nicht invertierbar.
Wo ist hier mein Denkfehler?
edit: vergesst das hier fürs erste (sorry): Ax=0 für und
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

@chi: dass die Lösungsmenge alle Vielfachen und Summen von (also den aufgespannten Unterraum) enthält.
Dein "Beweis" ist daher auch falsch. Ich rate Dir mindestens den Gauß-Algorithmus nochmal anzuschauen.
chi Auf diesen Beitrag antworten »
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Zitat:
Original von galoisseinbruder
@chi: dass die Lösungsmenge alle Vielfachen und Summen von (also den aufgespannten Unterraum) enthält.


Das habe ich doch eigentlich nicht behauptet. In meiner Beweisführung zeige ich doch erst, dass die Lösungsmenge nur aus x=0 besteht. Somit kann ich ja den bewiesenen Satz anweden und "sagen", dass A invertierbar ist, da es ein Produkt von Elementarmatrizen ist.
Der Satz lautet:
Sei A eine quadratische Matrix, dann gilt folgende Äquivalenz:
1) A ist invertierbar
2) Ax=0 hat nur triviale Lösung
3) A ist ein Produkt von Elementarmatrizen
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
was mich halt gestört hat sind:
1) das Beispiel:
2) müssen wir den Fall Ax=0 für und auch irgendwie ausschließen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Zitat:
Original von chi
Wir müssen erst zeigen, dass die Gleichung Ax=0 (mit endlicher Lösungsmenge) nur die Lösung x=0 hat.
[...]


Ax=0 für und
Z.B:
hat die Lösungsmenge x=0 und trotzdem ist A nicht invertierbar.
Wo ist hier mein Denkfehler?
[/latex]


Deshalb habe ich es gelesen als . Ax=0 hat nur die triviale Lösung.
Alternativ könnte ich es auch lesen als ist ein Gleichungssystem mit dem Nullvektor als einziger Lösung. Das ist genauso falsch, denn das triviale gleichungssystem hat den ganzen als Lösungsmenge.
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Ich meinte tatsächlich so:
mit Ax=0. Die Lösungsmege besteht doch hier nur aus dem Nullvektor oder nicht (also es gibt nur eine endliche Lösungsmenge)? Verstehe nicht warum K^3 die ganze Lösungsmenge sein soll. Bitte um Aufklärung
edit: vergesst das hier : Ax=0 für und fürs erste, also speziell für dieses Beispiel (sorry)
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort dazu ist mein Post um 21:44.
Die Lösungsmenge ist nicht endlich.

Edit als Reaktion auf den edit: Wenn Du als GLS auffasst ist es dass GLS 0=0, dass immer erfüllt ist. Da die verwendete Matrix eine -Matrix war ist 0 der Nullvektor mit drei Einträgen, wir sind also in (wobei K den Grundkörper des ganzen bezeichnet, im konkreten fall hier )
chi Auf diesen Beitrag antworten »
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
OOHH Maaannn, verstehe was du meinst, habs grad gesehen
edit: Ist der Beweis ansonsten korrekt?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis ist in der momentanen Fassung richtig.
Allerdings könnte es sein, dass hierfür:
Zitat:
Damit ist aber A ein Produkt aus Elementarmatrizen (schon in der vorlesung bewiesen)

in der Vorlesung die zu zeigende Aussage verwendet wurde.
chi Auf diesen Beitrag antworten »
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
verwendet wurde, dass die Ax=0 nur die triviale Lösung besizt.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist es in Ordnung. Wollte nur einen Zirkelschluss ausschließen.
chi Auf diesen Beitrag antworten »
Ax=0 mit endlich vielen Lösungen invertierbar
Was ist mit dem Fall Ax=0 für und . Anhand von Bepielen könnte ich dann zwar zeigen, dass es dann eine unendliche Lösungsmenge gibt, aber wie geht man vor, wenn man das allgemein zeigen soll?
edit: oder ist dieser einfach wegzulassen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eine Lösung von so auch alle Vielfachen von x: . (Hier damit unendlich viele Lösungen)
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

äh, mal zurück zur Frage. was mach ich denn nu mit dem beweis?
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, zweite seite nicht gesehen... Gott
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