Abbildungsmatrix - Berechnung

08.11.2011, 20:10

Traumtänzerin

Abbildungsmatrix - Berechnung

Meine Frage:
Hey, ich hab jetzt mal ´ne ganz blöde Frage.
Und ich weiß, die Defintion kann ich über all nachlesen. Habe ich auch. Aber ich werd aus diesem ganzen Formelwust einfach nicht schlau ..

Hat vielleicht jemand ein ganz simples Beispiel wie man so eine Abbidlungsmatrix (bei mir in der Vorlesung hieß das glaube ich auch mal "Darstellungsmartix") bildet?

Und dann vielleicht auch die vorgehensweise, weil ich nämlich gerade mit diesem einfach aus dem Vekotr wird der Vektor nicht nachvollziehen kann was da jetzt passiert ist?

Wäre super.
Danke smile

Meine Ideen:
Ja meine idee, was ich bisher "glaube" ist, dass ich das gaze aus zwei Basen (?) bilde ?

08.11.2011, 20:49

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten wäre es, wenn du dir mal ein einfaches Beispiel suchst.

Kurzfassung: Du hast eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ . Du brauchst zwei Basen. Nimm dir jeden Basisvektor des Vektorraumes V und bilde ihn mit f ab. Das Bild stellst du dann mit der Basis von w dar. Suche die Linearkombi der Basisvektoren von W, die das Bild der Basisvektoren von V darstellt. Und den Koordinatenvektor schreibst du dann spaltenweise in die Matrix.

Kurz zur Erläuterung, was dieser Koordinatenvektor ist.

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn jetzt nach dem Koordinatenvektors des Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gefragt wirst, antwortest du $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Denn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} = \color{red}1 \color{black} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \color{red}1 \color{black} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

08.11.2011, 21:01

Traumtänzerin

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, das mit dem Koordinatenvekotr hab ich so jetzt kapiert denk ich. Danke. smile

Das mit dem finden des einfachen Beispiel´s war ja gerade mein Problem. Augenzwinkern

08.11.2011, 21:07

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, steht denn nichts in der Vorlesung?

Na ja, dann mach ich mal was: Nimm mal die Funktion $\begin{eqnarray*} L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, ~L(x,y) = \begin{pmatrix}y \\ -2x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Nimm sowohl im Definitions- als auch im Bildbereich die Standardbasis $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ . Für den Anfang. Danach kannst du dir ja mal selbst eine andere Basis suchen.

08.11.2011, 21:36

Traumtänzerin

Auf diesen Beitrag antworten »

Und damit jetzt das machen was du oben beschrieben hattest?
Oh Gott. ^^

Also wenn ich die basis abbilde, dann krieg ich doch einfach das oder?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt mein Bild und das stell ich mit der Basis von R² da, die ja die selbe ist,..
Jetzt also die Basisvektoren als Linearkombination von meinen zwei darstellbar ist, soweit richtig ?

also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wäre meine Abbidlungsmatrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sollte das tatsächlich richtig sein, hab ichs verstanden.
Danke. smile

08.11.2011, 21:54

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Traumtänzerin
Also wenn ich die basis abbilde, dann krieg ich doch einfach das oder?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Njein. Da hast das richtig ausgerechnet, aber die Vektoren müssen anders herum stehen. Denn es spielt bei der Basisstreng genommen sogar die Reihenfolge der Vektoren eine Rolle. Wenn man die Vektoren verdreht, kommen andere Matrizen heraus. Dein erster Vektor ist das Bild des zweiten Basisvektors. Augenzwinkern

Deswegen: Dreh die Vektoren um

Zitat:

Original von Traumtänzerin
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein! Links müssen die Bilder stehen, du hast jetzt die Basisvektoren selbst hingeschrieben, aber nicht die Bilder der Basisvektoren. Und rechts müssen die Basisvektoren stehen, du sollst doch das Bild durch die Basisvektoren ausdrücken. Aber vom Rechenweg richtig! Freude

Also, jetzt bekommst du es bestimmt hin. Augenzwinkern

08.11.2011, 22:13

Traumtänzerin

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das erste seh ich und werd´s mir jetzt sicherlich merken. Big Laugh

Dann also so ? (Wirkt jetzt wahrscheinlich auf mich nur so verwirrend, weil ich jeweills die gleiche Basis habe, und darum das selbe Bild, ansich würden da dann verschiedene Abbidlungen entstehen, richtig?)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist meine Abbildungsmartix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jaaa ? ^^

08.11.2011, 22:31

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Traumtänzerin
(Wirkt jetzt wahrscheinlich auf mich nur so verwirrend, weil ich jeweills die gleiche Basis habe, und darum das selbe Bild, ansich würden da dann verschiedene Abbidlungen entstehen, richtig?)

Nein, denn auch der Input, den du an die Matrix dranmultiplizierst, ist ebenfalls ein Koordinatenvektor. In diesem Fall ist das aber unerheblich, da für die Standardbasis der Koordinatenvektor gleich dem gewünschten Vektor ist. Der Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist eben $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Bei anderen Basen ist das anders.

Zitat:

Original von Traumtänzerin
Also ist meine Abbildungsmartix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jawohl!

Noch mal zur anderen Basis. Wenn wir jetzt statt der oben genannten Standardbasis die Basis $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ nähmen (nur im Definitionsbereich!), dann lautete die Abbildungsmatrix eben $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Wenn man aber mit dieser letzteren Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abbilden möchte, muss mann sie mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multiplizieren, weil das der Koordinatenvektor bzgl. dieser Basis ist.

08.11.2011, 22:55

Traumtänzerin

Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhh ich glaube, ich habs kapiert..
Aber meine Lösung war ja jetzt richtig, nicht wahr?

Eine letzte Frage noch, unter Wikipedia steht (jetzt wo ich das Prinzip verstanden habe), dass man abgebildeteten Basisvektoren schon die Abbidlungsmatrix wären. Also quasi der letzte Schritt hier wird weggelasen ?

Hier der direkte Link.

09.11.2011, 10:51

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung stimmt, ja. Im Wikipediaartikel setzen die voraus, dass der Zielraum mit der Standardbasis ausgestattet ist. Dann ist aber der Koordinatenvektor gleich dem Vektor selbst, s. o..

09.11.2011, 17:30

Traumtänzerin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay, gut.

Danke. Freude

Neue Frage »

Antworten »

Abbildungsmatrix - Berechnung

Verwandte Themen