Grenzwert archimedisches mittel

08.11.2011, 22:04

gast111

Grenzwert archimedisches mittel

Meine Frage:
Für jede Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ definieren wir die zugehörige folge der archimedischen mittel durch $\begin{eqnarray*} b_{n}= \frac{1}{n}*(a_{1}+...+a_{n}) \end{eqnarray*}$

zu zeigen: wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ =a
so konvergiert $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ ebenfalls gegen a

Meine Ideen:
das archimedische mittel ist ja für n-> unendlich quasi sowas wie (a1+a2+...+a+a+a+a.....)/n
ist dieser ansatz etwas wert?
kann man diese aufgabe argumentativ lösen? also weil die meisten summanden in der klammer a sind und diese beim archimedischen mittel für n-> unendlich wichtiger sind als die ersten glieder die nicht dem grenzwert entsprechen...
danke

08.11.2011, 22:09

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Das ist ein arithmetisches Mittel. Was ein archimedisches Mittel ist, weiss ich nicht.
2. Was verstehst du unter "rein argumentativ lösen"?
3. Ich empfehle dir, einfach Abschätzungen zu machen und dann über die Definition der Konvergenz tatsächlich Konvergenz gegen a zu zeigen.

MfG

08.11.2011, 22:12

Verkasematucker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert archimedisches mittel
Prosalösungen solltest Du Dir gar nicht erst angewöhnen.
Du hast ja im Prinzip schon die richtige Idee:
Zu beliebig vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ liegen nur endlich viele $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ außerhalb der Epsilon Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet:

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon\text{ für alle }n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

Damit solltest Du die Summe mal in einen endlichen und einen unendlichen Teil aufspalten und den unendlichen Teil auf Basis obiger Überlegung abschätzen.

09.11.2011, 10:04

gast111

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huy
1. Das ist ein arithmetisches Mittel. Was ein archimedisches Mittel ist, weiss ich nicht.
2. Was verstehst du unter "rein argumentativ lösen"?
3. Ich empfehle dir, einfach Abschätzungen zu machen und dann über die Definition der Konvergenz tatsächlich Konvergenz gegen a zu zeigen.

MfG

1. steht so in der aufgabe, sieht aber gleich aus.
2. mit nem text

danke euch beiden, hat mir geholfen smile

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert archimedisches mittel

Verwandte Themen