Beweis Konvergenz Nullfolge / beschränkte Folge

08.11.2011, 23:00

Kos

Beweis Konvergenz Nullfolge / beschränkte Folge

Meine Frage:
Hallo,

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter.

Meine Ideen:
Die Idee ist völlig klar. Da Xn gegen 0 konvergiert und Yn beschränkt ist, ergibt das Produkt logischerweise 0. Ich weiß nur nicht genau wie ich jetzt den Beweis formal führen soll.

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand hilft.

08.11.2011, 23:11

Verkasematucker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Konvergenz Nullfolge / beschränkte Folge
Fang doch mal so an:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.
Die Folge $\begin{eqnarray*} \left(y_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ sei beschränkt durch $\begin{eqnarray*} K>0. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist lt Vor. Nullfolge.

Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} |x_n-0|<\frac{\varepsilon}K\text{ für alle }n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Nun betrachte mal $\begin{eqnarray*} |x_ny_n-0| \end{eqnarray*}$ .

09.11.2011, 09:25

Kos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da wohl leider ein Brett vor dem Kopf.
Wieso e/K?

Komme nicht dahinter.

09.11.2011, 09:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil man es eben so wählt. Das ist ja nicht verboten.

Wenn's dich stört, kannst du $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 := \frac{\epsilon}{K} \end{eqnarray*}$ definieren und darauf die Grenzwertdefinition für x_n anwenden.

09.11.2011, 09:36

Kos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, okay. Ich weiss trotzdem nicht was mir die Ansätze jetzt genau bringen.

Ich habe noch eine andere Idee:

Man könnte eine größere Folge als Yn konstruieren, zeigen, dass das Produkt mit Xn gegen 0 läuft und dann durch eine Rechenregel, die wir in der Vorlesung hatten, zeigen, dass auch die kleinere Folge gegen 0 laufen muss.

09.11.2011, 09:44

Verkasematucker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kos
Ich habe noch eine andere Idee:

Man könnte eine größere Folge als Yn konstruieren, zeigen, dass das Produkt mit Xn gegen 0 läuft und dann durch eine Rechenregel, die wir in der Vorlesung hatten, zeigen, dass auch die kleinere Folge gegen 0 laufen muss.

Ja klar, Du kannst auch über Konstantinopel nach Hause fahren - nur bringt das nicht so viel.

Mit der 'größeren' Folge stehst Du letztendlich doch vor der gleichen Aufgabe.

Ich hab Dir oben doch alles mundgerecht ausgebreitet und hatte dabei schon ein schlechtes Gewissen weil so gut wie nichts mehr zu tun bleibt. unglücklich

09.11.2011, 09:55

Kos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das glaube ich dir gerne. Leider bin ich wohl zu unfähig, um es zu begreifen. verwirrt

Verstehe nicht so ganz, was das K bedeuten zu hat. Wird die Folge durch das K nach oben beschränkt oder wie ist das zu verstehen?

09.11.2011, 10:08

Verkasematucker

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht doch um eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und da macht der Begriff 'Beschränktheit' nur im Zusammenhang mit dem Betrag Sinn.

Mit anderen Worten:

$\begin{eqnarray*} y_n \text{ ist beschränkt } \Leftrightarrow \text{ Es gibt ein }K>0\text{ mit } |y_n|<K \text{ für alle } n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Übrigens ist es immer ungünstig eine Aufgabe zu bearbeiten, in der die dort auftauchenden Begrifflichkeiten nicht zu 100% klar sind.

09.11.2011, 10:43

Kos

Auf diesen Beitrag antworten »

Haben das in der Vorlesung noch gar nicht wirklich auf komplexe Folgen bezogen, aber das macht natürlich Sinn.

Ich habe es jetzt mal so versucht:

Wenn man obigen Ausruck umformt steht dort |xn * K| < e
|xn*yn -- 0| ist aber auf jeden Fall kleiner als |xn * K|

=> xn*yn geht auch gegen 0

Ist das in etwa die richtige Richtung?

09.11.2011, 11:19

Verkasematucker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Konvergenz Nullfolge / beschränkte Folge
Ja, das ist in etwa die richtige Richtung.

Nach obiger Vorrede folgt also:

$\begin{eqnarray*} |x_ny_n-0|=|x_ny_n|= \underbrace{|x_n|}_{<\frac{\varepsilon}K} \underbrace{|y_n|}_{<K}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Zusammengefasst:

Zu beliebigem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es also ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |x_ny_n-0|<\varepsilon. \end{eqnarray*}$

Das ist aber gerade die Definition von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_ny_n=0. \end{eqnarray*}$

09.11.2011, 12:54

Kos

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich es, danke dir.

Was mir noch Probleme bereitet ist folgendes. Du kommst ja nicht von vornerein auf das e/K.
Ich kriege es nur hin, wenn ich von vornerein e/K setze, aber im Normalfall sieht man ja erst am Ende, dass eine bestimmte Wahl Sinn macht.

Kurz gesagt: Wie komme ich auf das e/K?

09.11.2011, 13:09

Verkasematucker

Auf diesen Beitrag antworten »

Sich einen Beweis zu überlegen und ihn dann hinzuschreiben sind zwei Paar Schuhe.
Erst überlegt man sich wie's funktioniert um's dann so hinschreiben zu können, dass alles passt.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis Konvergenz Nullfolge / beschränkte Folge

Verwandte Themen