Halbordnung

08.11.2011, 23:13

Hachiko

Halbordnung

Hallo liebe Forumnutzer,

Folgendes bereitet mir Probleme:

Sei $\begin{eqnarray*} mRn \Leftrightarrow |m| \leq |n|, m,n \in \mathbb Z. \end{eqnarray*}$ Ist R eine Halbordnung auf Z?

Halbordnung heisst ja, dass es Reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

Ich bin demnach so weit:

Reflexivität: $\begin{eqnarray*} mRm \end{eqnarray*}$ gilt wegen dem Gleich in $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$

Symmetrie passt nicht wenn z.B.:

m = 3 und n = -5

so passt zwar |m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |n| aber umgekehrt dann nicht mehr (oder muss sich hierbei das kleiner gleich auch umdrehen??)

Bei der Transitivität habe ich nun kein Schimmer wie ich weiter machen soll weil ich nur 2 Variablen habe.

Für den Beweis der Transitivität brauche ich aber noch eine weitere sodass ich z.B zeigen kann dass wenn:

|m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |n| $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ |n| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x| $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ |m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x|

habe ich bis hierher überhaupt richtig gerechnet?

wie beweise ich hier die Transivität verwirrt

Vielen Herzlichen Dank

08.11.2011, 23:23

zweiundvierzig

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RE: Halbordnung

Zitat:

Original von Hachiko
Reflexivität: $\begin{eqnarray*} mRm \end{eqnarray*}$ gilt wegen dem Gleich in $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von Hachiko
Symmetrie passt nicht wenn z.B.:

m = 3 und n = -5

so passt zwar |m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |n| aber umgekehrt dann nicht mehr (oder muss sich hierbei das kleiner gleich auch umdrehen??)

Was genau willst Du hier machen? Übrigens sollst Du Antisymmetrie zeigen oder widerlegen. Wie ist diese Eigenschaft definiert?

Zitat:

Original von Hachiko
Bei der Transitivität habe ich nun kein Schimmer wie ich weiter machen soll weil ich nur 2 Variablen habe.

Deine Relation hat zwei Stellen, aber Du hast dennoch mehr Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hachiko

Für den Beweis der Transitivität brauche ich aber noch eine weitere sodass ich z.B zeigen kann dass wenn:

|m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |n| $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ |n| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x| $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ |m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x|

Ja. Gilt das denn?

08.11.2011, 23:44

Hachiko

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RE: Halbordnung
Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} mRn \Leftrightarrow |m| \leq |n|, m,n \in \mathbb Z. \end{eqnarray*}$ Ist R eine Halbordnung auf Z?

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Was genau willst Du hier machen? Übrigens sollst Du Antisymmetrie zeigen oder widerlegen. Wie ist diese Eigenschaft definiert?

Hmm.. Ich dachte hiermit bereits die Antisysmmetrie bewiesen zu haben. Die Eigenschaft der Sysmmetrie ist wenn ich es richitg verstanden habe, so definiert:

wenn |3| kleinergleich |5| dann ist auch |5| kleinergleich |3|

was ja hier nicht der fall ist und daher Antisymmetrisch. richtig so?

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Hachiko
Bei der Transitivität habe ich nun kein Schimmer wie ich weiter machen soll weil ich nur 2 Variablen habe.

Deine Relation hat zwei Stellen, aber Du hast dennoch mehr Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Demnach kann ich also die Transitivität so beweisen?:
|m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |n| $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ |n| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x| $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ |m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x|

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Ja. Gilt das denn?

Ich weiss zwar nicht ob sich die Transiviität in diesem Fall so beweisen lässt aber die Aussage an sich stimmt meiner Meinung nach schon.

oder liege ich hier falsch verwirrt

09.11.2011, 09:59

zweiundvierzig

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RE: Halbordnung

Zitat:

Original von Hachiko
Hmm.. Ich dachte hiermit bereits die Antisysmmetrie bewiesen zu haben.

Antisymmetrie bedeutet: $\begin{eqnarray*} m R n \wedge n R m \implies m = n \end{eqnarray*}$
Kann das hier gelten?

Zitat:

Original von Hachiko
Demnach kann ich also die Transitivität so beweisen?:
|m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |n| $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ |n| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x| $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ |m| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x|

[...]
Ich weiss zwar nicht ob sich die Transiviität in diesem Fall so beweisen lässt aber die Aussage an sich stimmt meiner Meinung nach schon.

oder liege ich hier falsch verwirrt

Ja, das ist richtig aufgeschrieben. Aber die Begründung fehlt. Was hast Du für diesen Schluss denn genau benutzt?

09.11.2011, 12:59

Hachiko

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Zitat:

Antisymmetrie bedeutet: $\begin{eqnarray*} m R n \wedge n R m \implies m = n \end{eqnarray*}$
Kann das hier gelten?

Also wenn m = 3 und n = 5:

$\begin{eqnarray*} |3| \leq |5| \wedge |5| \leq |3| \implies m = n \end{eqnarray*}$

Ne, das passt nicht. m kann nicht (nie) n werden! Aber dass die Symmetrie nicht stimmt sieht man eigentlich eh weil 5 nicht kleiner gleich 3 ist verwirrt

m ist 3 und n ist 5. auch wenn sie jetzt in der relation in umgekehrter position stehen, sind sie dennoch dieselben variablen mit denselben werten. Diese m = n Begründung kann ich mir eigentlich bei keiner Möglichkeit vorstellen.

Zitat:

Ja, das ist richtig aufgeschrieben. Aber die Begründung fehlt. Was hast Du für diesen Schluss denn genau benutzt?

$\begin{eqnarray*} m R n \wedge n R x \implies mRx \end{eqnarray*}$

nehme an, dass das so passt

Aber diese m = n geschichte ist ziemlich unlogisch für mich!

Danke sehr

09.11.2011, 17:19

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Hachiko
$\begin{eqnarray*} |3| \leq |5| \wedge |5| \leq |3| \implies m = n \end{eqnarray*}$

Na, die Voraussetzung für den Schluss ist doch schon falsch.
Die Relation ist nicht antisymmetrisch. Um das zu sehen, finde zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} mRn \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} nRm \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hachiko
$\begin{eqnarray*} m R n \wedge n R x \implies mRx \end{eqnarray*}$

Ja, das gilt, für dieses $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ müssen wir es erst noch beweisen. Im Klartext: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist transitiv, weil eine andere Relation es ist...und zwar welche?

09.11.2011, 19:44

Hachiko

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist transitiv, weil eine andere Relation es ist...und zwar welche?

Unsere ursprüngliche?

Also $\begin{eqnarray*} |m| \leq |n|, m,n \in \mathbb Z. \end{eqnarray*}$ wenn man dann noch ein element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zum beweisen nimmt.

So bildet diese Relation keine Halbordnung auf Z, da es zwar transitiv und reflexiv ist aber nicht assymetrisch.

Hoffentlich habe ich das nun richtig verstanden!

Danke

11.11.2011, 15:23

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Hachiko

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist transitiv, weil eine andere Relation es ist...und zwar welche?

Unsere ursprüngliche?

Also $\begin{eqnarray*} |m| \leq |n|, m,n \in \mathbb Z. \end{eqnarray*}$ wenn man dann noch ein element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zum beweisen nimmt.

Naja, fast. Wörtlich korrekt müsste man sagen, die Transitivität von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ folgt aus der Transitivität von $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Mit Deinem Fazit hast Du im Prinzip recht, aber Du könntest jetzt nochmal konkret Elemente angeben, welche die Antisymmetrie von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ verhindern. Augenzwinkern

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