Konvergenz und Grenzwert von Folgen

09.11.2011, 12:16

miniradio

Konvergenz und Grenzwert von Folgen

Hallo,

ich habe 2 Probleme:

1) Ich habe eine Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{4^{n}+1}{5^{n}} \end{eqnarray*}$ die ich auf Konvergenz überprüfen soll und gegennenfalls den Grenzwert bestimmen soll.

Durch einsetzen verschiedener Werte für n bin, war meine Vermutung dass die Folge den Grenzwert 0 hat. Jedoch weiss ich nicht wie ich dies zeigen soll.
Für mich ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{}~{ \frac{4^{n}+1}{5^{n}}}=\frac{lim_{}~{(4^{n}+1)}}{lim_{}~{5^{n}}}= \frac{unendlich}{unendlich} \end{eqnarray*}$ was undefiniert ist?

2) Ich habe eine weitere Folge $\begin{eqnarray*} e_{n} = \frac{a^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ die ich auf Konvergenz überprüfen soll und gegennenfalls den Grenzwert bestimmen soll.

Muss mann hier evtl. eine Fallunterscheidung für verschiedengroße Werte für a machen? (a>1 usw) In der Aufgabe steht nicht, was a ist (also wie zb natürliche Zahl, reele Zahl oder so).

Viele Grüße!

09.11.2011, 12:53

klarsoweit

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RE: Konvergenz und Grenzwert von Folgen
zu 1: zerlege b_n in 2 Brüche, deren Konvergenz leicht zu zeigen ist.

zu 2: betrachte $\begin{eqnarray*} \frac{e_{n+1}}{e_n} \end{eqnarray*}$ . Gegen was konvergiert das?

09.11.2011, 13:42

miniradio

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1:

$\begin{eqnarray*} \lim_{}~{\frac{4^{n}}{5^{n}}}+\lim_{}~{\frac{1}{5^{n}}}=\lim_{}~{(\frac{4}{5}})^{n}+\lim_{}~{\frac{1}{5^{n}}}=0 + 0 \end{eqnarray*}$

Danke, hätte man eigentlich locker selber drauf kommen müssen smile

2.
$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{a^{n+1} }{ (n+1)!} }{ \frac{a^{n}}{n!} } = \frac{a^{n+1} }{ (n+1)!} * \frac{n!}{a^{n}} = \frac{a }{1} * \frac{1 }{ (n+1)} \end{eqnarray*}$

der limes davon müsste ja dann gegen 0 laufen, oder?
Und was bedeutet das für e_n wenn $\begin{eqnarray*} \frac{e_{n+1}}{e_n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 läuft?

Danke!

09.11.2011, 13:59

Verkasematucker

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Zitat:

Original von miniradio

Und was bedeutet das für e_n wenn $\begin{eqnarray*} \frac{e_{n+1}}{e_n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 läuft?

Danke!

Du kannst dann mittels Quotientenkriterium auf die Konvergenz der Reihe über die $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ schließen woraus dann sofort folgt, dass $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ Nullfolge sein muss.

Alternativ könntest Du begründen, dass es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt so dass $\begin{eqnarray*} n>|a| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dann

$\begin{eqnarray*} \frac{a^n}{n!}=\prod_{k=1}^n\frac ak=\prod_{k=1}^{n_0-1}\frac ak\cdot\prod_{k=n_0}^{n}\frac ak \end{eqnarray*}$

Das erste Produkt ist endlich und somit durch eine feste Schranke kontrollierbar.
Das zweite Produkt besteht aus Faktoren die kleiner als 1 sind und konvergiert gegen 0.

09.11.2011, 14:15

klarsoweit

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Alternativ, wenn man sich mit Reihen, Quotientenkriterium, etc. nicht auskennt, kann man aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \frac{e_{n+1}}{e_n} \end{eqnarray*}$ gegen Null folgern, daß es ein n_0 gibt mit $\begin{eqnarray*} \frac{e_{n+1}}{e_n} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ für alle n >= n_0. Es ist dann $\begin{eqnarray*} e_{n+1} \leq \frac 1 2 e_n \end{eqnarray*}$ und mit vollständiger Induktion folgt dann, daß $\begin{eqnarray*} e_{n} \leq (\frac 1 2)^{n-n_0} \cdot e_{n_0} \end{eqnarray*}$ für n >= n_0 ist.

Mit $\begin{eqnarray*} (\frac 1 2)^{n-n_0} \cdot e_{n_0} \end{eqnarray*}$ hat man dann eine konvergente Majorante.

09.11.2011, 15:11

Lumpi23

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Hallo zusammen,

ich bin grade neu bei diesem Thema und habe Verständnisprobleme. War heute in der Bibliothek und habe was von der Regel des L'Hostpital gelesen.

Wenn ich bei OP's erster Aufgabe diese Regel anwende, komme ich auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ , was natürlich falsch ist.
Meine Vermutung ist, dass Zähler- und Nenner-Term eigentlich selbst gegen Null streben müssten, damit die Regel gilt. Stimmt das?

09.11.2011, 15:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lumpi23
Wenn ich bei OP's erster Aufgabe diese Regel anwende, komme ich auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ , was natürlich falsch ist.

Was hast du denn da gerechnet?

Zitat:

Original von Lumpi23
Meine Vermutung ist, dass Zähler- und Nenner-Term eigentlich selbst gegen Null streben müssten, damit die Regel gilt. Stimmt das?

Ja. Es ist aber auch die Situation erlaubt, daß beides gegen unendlich strebt.

09.11.2011, 15:45

Lumpi23

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Zitat:

Original von klarsoweit

Was hast du denn da gerechnet?

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}\frac{4^n+1}{5^n} \end{eqnarray*}$

Zähler:
$\begin{eqnarray*} f(n) = 4^n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(n) = 4n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(n) = \infty \end{eqnarray*}$

Nenner:
$\begin{eqnarray*} g(n) = 5^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(n) = 5n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} g(n) = \infty \end{eqnarray*}$

mit der Regel von L'Hospital:
$\begin{eqnarray*} lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}\frac{4^n+1}{5^n} = lim_{n \to \infty}\frac{4n}{5n} = \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

09.11.2011, 16:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lumpi23
Zähler:
$\begin{eqnarray*} f(n) = 4^n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(n) = 4n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(n) = \infty \end{eqnarray*}$

Nenner:
$\begin{eqnarray*} g(n) = 5^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(n) = 5n \end{eqnarray*}$

Da hast du falsch abgeleitet.

09.11.2011, 16:23

Lumpi23

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Danke. Richtig abgeleitet, ergebe sich folgender Term:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{ln(4)*4^n}{ln(5)*5^n} \end{eqnarray*}$

Was die Sache eher erschwert, als vereinfacht.

09.11.2011, 17:30

klarsoweit

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Genau.

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