Beweis zum Konvergenzradius von Potenzreihen

06.01.2007, 19:20

Vally

Beweis zum Konvergenzradius von Potenzreihen

Hallo,
meine Aufage sieht folgendermaßen aus:

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n\cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ relle Potenzreihe mit $\begin{eqnarray*} a_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Beweise:
a) $\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty}\mid \frac{a_n}{a_n+1} \mid \end{eqnarray*}$ sofern existent

b) Ist $\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid=0 \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} R=\infty \end{eqnarray*}$

Wir haben den Tip bekommen das Wurzelkriterium anzuwenden, aber ich komme damit irgendwie nicht weiter, weil dann hab ich da stehen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \mid \frac{a_n}{a_{n+1}} \mid \cdot \sqrt[n]{\mid {a_n} \mid} =1 \end{eqnarray*}$
aber irgendwie hilft mir das nicht weiter.
Ich bin für jede Starthilfe dankbar.
Und falls es schon einen beitrag dazu gibt den ich nicht gefunden habe, teilt mir das bitte mit
Schönen abend noch
Vally

06.01.2007, 19:42

Abakus

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RE: Beweis zum Konvergenzradius von Potenzreihen
Naheliegend wäre bei dieser Aufgabe das Quotienten-Kriterium anzuwenden (verwechselt mit Wurzelkriterium ?). Auf was kommst du dann ?

Grüße Abakus smile

06.01.2007, 20:53

Vally

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RE: Beweis zum Konvergenzradius von Potenzreihen
Super danke, das klappt schonmal für den ersten teil!!!

Aber was mach mit Teil b)?
Wie kann ich beweisen dass
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0}= \infty \end{eqnarray*}$

also jetzt mal ganz banal ausdrückt. nehmt mich bitte nicht wörtlich!!!

06.01.2007, 20:57

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Dasselbe in grün:

Aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}x \right| = 0 \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Und jetzt Quotientenkriterium für Reihen.

06.01.2007, 21:12

Vally

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Das Quotientenkriterium sieht doch so aus:
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

ich verstehe nicht wie mir das hier helfen kann. weil das besagt doch genau einen teil von dem was ich zeigen soll!?

Entschuldigung falls ich auf dem schlauch steh

06.01.2007, 21:17

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Zitat:

Original von Vally
Das Quotientenkriterium sieht doch so aus:
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist der Grenzwert aus dem Quotientenkriterium bezogen auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ . Bezogen auf deine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n \end{eqnarray*}$ lautet der zu betrachtende Grenzwert aber

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} x \end{eqnarray*}$

Immer dran denken, um welche Reihe es geht. Und, ob es um das Quotientenkriterium zur Reihenkonvergenz oder um das Quotientenkriterium zur Bestimmung des Konvergenzradius von Potenzreihen geht! Das sind verschiedene Kriterien, auch wenn sie verwandt sind und daher ähnlich heißen!

06.01.2007, 21:33

Vally

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Ok, dann sollte ich meine Lösung für die a) wohl nochmal überdenken.

Wenn ich das was du geschrieben hast jetzt noch ein bisschen weiterspinne habe ich doch:
$\begin{eqnarray*} x\cdot \lim_{n \to \infty} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid = \end{eqnarray*}$

und jetzt, oder lauf ich schon wieder in die falsche richtung?

06.01.2007, 21:33

Vally

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Ok, dann sollte ich meine Lösung für die a) wohl nochmal überdenken.

Wenn ich das was du geschrieben hast jetzt noch ein bisschen weiterspinne habe ich doch:
$\begin{eqnarray*} x\cdot \lim_{n \to \infty} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid =x\cdot r=x\cdot 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt, oder lauf ich schon wieder in die falsche richtung?

06.01.2007, 22:04

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Ich glaube, es ist mal Zeit die Gedanken zu ordnen. Das habe ich in meinem letzten Beitrag versucht, aber wohl nur halbherzig...

Worum geht es hier eigentlich? Um Potenzreihen. Und da sollst du nachweisen, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_nx^n \end{eqnarray*}$

a) für $\begin{eqnarray*} |x|<R \end{eqnarray*}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray*} |x|>R \end{eqnarray*}$ divergiert, sofern das dort definierte $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ als Grenzwert existiert. Genau das sagt nämlich der Begriff "Potenzreihenradius" aus.

b) für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert, denn nichts anderes drückt $\begin{eqnarray*} R=\infty \end{eqnarray*}$ aus.

Zum Beweis von a) und b) stehen dir die üblichen Konvergenzkriterien einer "normalen" Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$ zur Verfügung, davon gehe ich mal aus, oder erfindet ihr ständig das Rad neu? Und dazu zählt hier insbesondere das "normale" Quotientenkriterium, angewandt dann auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_nx^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} b_n=a_nx^n \end{eqnarray*}$ .

Wie ich in meinem letzten Beitrag schon sagte: Ordnung in die Begriffe bringen! Und systematisch vorgehen, statt ziellos rumzuirren.

06.01.2007, 22:46

Vally

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Danke vielmals für die Aufräumaktion in meinem Kopf!
Das war echt dringend nötig!
Habs jetz auch endlich alles geschafft. Aber auch nur dadurch dass du mir die Aufgabe verständlich gemacht hast. Wenn mans so dastehen hat, ist es doch ein bisschen einfacher!
Danke

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