Schätzer

09.11.2011, 14:01	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer Meine Frage: Für ein $\begin{eqnarray} \theta>0 \end{eqnarray}$ seien $\begin{eqnarray} X_1,\hdots,X_n \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray} X_i\sim SG[0,\theta] \end{eqnarray}$ . (1) Zeige, daß für jedes $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_n(X_1,\hdots,X_n)=\frac{2}{n}(X_1+\hdots+X_n) \end{eqnarray}$ ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ist. (2) Berechne die Varianz von $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ . (3) Zeige, daß $\begin{eqnarray} T_1,T_2,\hdots \end{eqnarray}$ eine konsistente Schätzfolge für $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ist. Übrigens soll $\begin{eqnarray} SG[0,\theta] \end{eqnarray}$ die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,\theta] \end{eqnarray}$ bezeichnen. Meine Ideen: (1) Erwartungstreu heißt doch Folgendes: Bestimmt man den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ unter der Voraussetzung, daß der unbekannte Parameter $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ zugrunde liegt, ergibt sich als Erwartungswert gerade $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} E\left(\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)\right)=\frac{2}{n}\cdot E(X_1+...+X_n)=\frac{2}{n}\cdot E(X_1)+...+E(X_n)=\frac{2}{n}\cdot n\cdot \frac{\theta}{2}=\theta \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(T_n)=E\left[\left[\frac{2}{n}(X_1+\hdots+X_n)\right]^2\right]-\theta^2 \end{eqnarray}$ Wie kann man das weiter ausrechnen vorausgesetzt, daß es bis hier stimmt? (3) noch nicht bearbeitet (frage ich später was zu)
09.11.2011, 14:52	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzer 1) Ja, ist richtig (du hast nur bei der vorletzten Gleichung ne Klammer vergessen, Flüchtigkeitsfehler? 2) Bis dahin richtig, du kannst nun den Vorfaktor hinausziehen und dann den Satz von Bienaymé darauf anwenden 3) Ich verrate schonmal soviel, dass du Aufgabe 2 dabei verwenden kannst Korrektur: Vergiss bei 2) den Satz von Bienaymé, den brauchst du nich. Umformen wie bei der 1)
09.11.2011, 15:13	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzer (1) Stimmt, da habe ich die Klammerung vergessen. Danke für den Hinweis! (2) Ich errechne dann: $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(T_n)=\frac{4}{n^2}\cdot n\cdot \operatorname{Var}(X_1) \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(X_1)=E(X_1^2)-E(X_1)^2=\frac{1}{\theta}\int_{0}^{\theta}x^2 \, dx-\frac{\theta^2}{4}=\frac{\theta^2}{3}-\frac{\theta^2}{4}=\frac{\theta^2}{12} \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(T_n)=\frac{4}{n^2}\cdot n\cdot \frac{\theta^2}{12}=\frac{\theta^2}{3n} \end{eqnarray}$ . Edit: (3) Ah! Stichwort ist "Tschebyscheff-Ungleichung" und dann läuft ja die oben errechnete Varianz gegen Null für n gegen Unendlich.

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