Drehung einer Funktion um einen beliebigen Winkel

09.11.2011, 14:13	mos	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehung einer Funktion um einen beliebigen Winkel Meine Frage: Hallo, und zwar stehe ich vor einer Herausforderung: Ich möchte das Koordinatensystem für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{C}{x} + 1 \end{eqnarray}$ um 1 Einheit in y-Richtung verschieben. C ist eine beliebige Konstante. Dann möchte ich um $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray}$ drehen, um eine Hyperbel zu erhalten. Meine Ideen: Ich habe mir überlegt eine Koordinatentransformation durchzuführen. Leider weiß ich aber nicht, wie ich daraus, dann die neue Funktion ermittle. Nach der Verschiebung ergibt sich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und nach der Drehung um 45° $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} x+(y-1) \\ -x+(y-1)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie kann ich daraus jetzt meine Hyperbel erzeugen? Vielen Dank schon im voraus für die Hilfe.
09.11.2011, 19:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Vektorgleichung gibt dir beim Aufteilen in die zwei Koordinaten ein lineares Gleichungssystem. Löse dieses nach $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ auf. So kannst du $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x'',y'' \end{eqnarray}$ angeben. Setze die Terme für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray} y = \frac{C}{x} + 1 \end{eqnarray}$ ein. Und schon hast du die gesuchte Beziehung zwischen $\begin{eqnarray} x'' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'' \end{eqnarray}$ . Du kannst sie noch auf eine gewünschte Form bringen und hinterher wieder $\begin{eqnarray} x'' \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'' \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ umbenennen. Das Ganze hat übrigens nichts mit der konkreten Funktion zu tun, sondern funktioniert immer, wenn du um 1 nach unten verschieben und um 45° drehen willst.
10.11.2011, 10:56	mos	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Ok, das habe ich versucht, aber wenn ich Vektorlgleichung nach x bzw. y auflöse, dann bleibt immer eine Abhängigkeit von dem eigentlichen x und y erhalten: Also $\begin{eqnarray} x''=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y-1) \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} x = x''\frac{\sqrt{2}}{2} - y +1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y''=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x+y-1) \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} y = y''\frac{\sqrt{2}}{2} + x +1 \end{eqnarray}$ Wie löse ich das auf? Viele Grüße
10.11.2011, 19:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Definiert man die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und die Vektoren $\begin{eqnarray} c,z,z'' \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} A = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \, , \ \ c = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \, , \ \ z = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \, , \ \ z'' = \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so ist doch deine Gleichung nichts anderes als $\begin{eqnarray} z'' = A \cdot (z-c) \end{eqnarray}$ Multiplikation von links mit $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ und anschließende Addition von $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ führt auf $\begin{eqnarray} z = A^{-1} z'' + c \end{eqnarray}$ Das wäre die formale Lösung mit Matrizen. Es geht aber auch ganz direkt: Zum Beispiel die erste deiner Gleichungen nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auflösen (hast du gemacht) und das in die andere einsetzen. Die neue Gleichung kannst du dann nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auflösen. Und das Ergebnis dann wieder oben einsetzen.

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