äquivalenzrelationen

09.11.2011, 15:23

martinio

äquivalenzrelationen

Hey,

hab hier eine Aufgabe an der ich nicht weiterkomme:

Seien X und Y nichtleere Mengen. Weiter seien R eine Relation auf X
und S eine Relation auf Y . RS sei eine Relation auf X x Y definiert durch

$\begin{eqnarray*} ((x,y),(u,v)) \in RS : = (x,u) \in R \wedge (y,v) \in S , (x,y),(u,v) \in X\times Y \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie, dass RS eine Äquivalenzrelation auf XxY ist, falls R eine Äquivalenzrelation auf X und S eine Äquivalenzrelation auf Y ist.

Ansatz:
Ich möchte zunächst die beiden untergeordneten Äquivalenzrelationen beweisen.

zz: (i) $\begin{eqnarray*} R - X \end{eqnarray*}$ ( R steht in Relation zu X)

i.i. refelexivität:
$\begin{eqnarray*} \forall u \in R : u - u \end{eqnarray*}$
i.ii. transitivität:
$\begin{eqnarray*} u - x \wedge x - y \Rightarrow u - y \end{eqnarray*}$
i.iii. symmetrie:
$\begin{eqnarray*} \forall x,u\in X: x- u\Rightarrow u - x \end{eqnarray*}$
Folgerung: R - X ist eine Äquivalenzrelation

zz: (ii) $\begin{eqnarray*} S - Y \end{eqnarray*}$ ( S steht in Relation zu Y)

ii.i - analog zu i.i
ii.ii - analog zu i.ii
ii.iii - analog zu i.iii
Ich erspaar mir hier mal das Abschreiben, denn wer weiß, ob das überhaupt richtig ist.

zz: (iii) $\begin{eqnarray*} RS - X\times Y \end{eqnarray*}$ (RS steht in Relation zum kathesischen Produkt aus....)

iii.i Reflexivität:
$\begin{eqnarray*} ((x,y),(u,v)) - ((x,y),(u,v)) \end{eqnarray*}$
iii.ii Transitivität:
$\begin{eqnarray*} \forall (x,y),(u,v) \in X\times Y \wedge \forall ((x,y),(u,v)) \in RS: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y)- (y,v)\wedge (y,v)- (x,u)\Rightarrow (x,y)- (x,u) \end{eqnarray*}$
iii.iii: Symmetrie:
$\begin{eqnarray*} (x,y) - (u,v) \Rightarrow (u,v) - (x,y) \end{eqnarray*}$

-> Ist eine Äquivalenzrelation

Ja, glaube nicht, dass mein Ansatz richtig ist. für konstruktive Ratschläge wäre ich sehr dankbar!

zz.

09.11.2011, 15:37

klarsoweit

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RE: äquivalenzrelationen

Zitat:

Original von martinio
Ansatz:
Ich möchte zunächst die beiden untergeordneten Äquivalenzrelationen beweisen.

Warum? Das ist doch vorgegeben.

Zitat:

Original von martinio
zz: (i) $\begin{eqnarray*} R - X \end{eqnarray*}$ ( R steht in Relation zu X)

Hier unterliegst du einer begrifflichen Verwirrung.
R steht nicht in Relation zu X, sondern R ist eine Relation auf X.

Thema paßt eher in die Algebra.

09.11.2011, 15:41

martinio

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okay gut , ich dachte ich dürfte das nicht so einfach voraussetzen, bzw. als vorausgesetzt ansehen.

zur begriffglichkeit, ich werds mir in zukunft merken, richtig auszuspreche/schreiben, jedoch bietet der formeleditor kein relationszeichen, vielmals entschuldigung.

ist denn schritt iii richtig?

09.11.2011, 15:47

martinio

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RE: äquivalenzrelationen
ist eine übung vom analysis blatt... der prof wird doch wissen wo es hingehört, aber okay ich poste es in die algebra rein

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