Matrizzenrechnung

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06.01.2007, 19:40	Geta	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizzenrechnung Hi Leute hab ein paar Fragen zu kleinen Testaufgaben aus unserem Mathe GK. Aufgabe 1 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_2+x_3=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ax_2+3x_3=b \end{eqnarray}$ Untersuchen Sie, für welche Werte a,b das Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat. Hier weiß ich leider gar nich wie ich auf die Lösung kommen soll?! Aufgabe 2 Bestimmen Sie mit Hilfe des Rangkriteriums, ob das nachstehende inhomgene Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat. $\begin{eqnarray} x_1-2x_2-x_3+2_4=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_1-x_2+3x_3-x_4=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1+7x_2-6x_3+4x_4=13 \end{eqnarray}$ also hier würde ich die Matrix aufstellen und dann mithilfe des Gaußverfahrens (wenn es das ist) lösen. Die Kriterien danach kenne ich, dh rg(A), rg(A,b). Kann mir jemand nochmal "n" in diesem Zusammenhang erklären? Ist das die Anzahl der Variablen, oder wie?
06.01.2007, 23:00	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Aufgabe 1: Stelle doch mal die Koeffizientenmatrix dieses LGS auf und bringe sie auf Zeilenstufenform durch Eliminieren des Koeffizienten vor x3 in der dritten Zeile. Für bestimmte Werte für a und b kann jetzt eine 1) ganze Nullzeile ---> unendlich viele Lösungen 2) halbe Nullzeile ---> keine Lösung 3) keine Nullzeile ---> genau eine Lösung entstehen. Hilft das weiter ? Gruß Björn
07.01.2007, 00:01	Geta	Auf diesen Beitrag antworten »
mh, bringt mich leider noch nich ganz weiter.. bin ne absolute Niete was das alles angeht. Also die Koeffizientenmatrix müsste ya folgendermaßen aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & a & 3 & b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ is das so weit richtig? nur komm ich nu nich weiter. is der Ansatz zu Aufgabe 2 denn richtig?
07.01.2007, 03:38	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Aufgabe 1: Das wäre die erweiterte Koeffizientenmatrix, ja. Versuche nun mal in der dritten Zeile durch geeignete Äquivalenzumformungen (Gauss) aus der 3 eine 0 zu machen. Naja, und dann geht es eben so weiter wie oben beschrieben. Du musst dir dann überlegen wann (für welche a und b) die dritte Zeile nur noch aus nullen besteht (ganze Nullzeile) und dann noch für welche Wahl von a und b nur die ersten drei Einträge der dritten Zeile null werden jedoch nicht der vierte Eintrag (halbe Nullzeile). Zu Aufgabe 2: Stelle auch hier die erweitere Koeffizientenmatrix auf und erzeuge durch geeignete Umformungen z.B. links unten ein Dreieck von nullen. Eindeutig lösbar kann dieses LGS nicht sein weil dazu der Rang 4 sein müsste aufgrund der 4 Variablen. Bleibt jetzt noch zu überprüfen ob das LGS überhaupt lösbar ist oder nicht und das macht man durch den Nachweis dass rg(A)=rg(A,b) gilt. Das kannst du alles auch nochmal hier unter dem Abschnitt Lösbarkeit nachlesen ----> http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Wenn es noch Fragen gibt einfach melden Gruß Björn
07.01.2007, 12:09	Geta	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich aus der 3 eine nulle mache, bekomme ich folgendes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -6a & 0 & -3b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ganze Nullzeile -> a=0/b=0 halbe Nullzeile -> a=0/b#0 keine Nullzeile -> a#0/b#0 funktioniert das dann so?
07.01.2007, 12:49	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine letzte Zeile stimmt leider nicht, denn du rechnest ja 3 mal die zweite Zeile minus die dritte Zeile. Dadurch entsteht schonmal statt -6a eigentlich 6-a. Versuch es einfach nochmal Gruß Björn
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07.01.2007, 14:42	Geta	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -6+a & 0 & -3+b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so vielleicht? is etwas umständlicher.
07.01.2007, 14:59	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau Jetzt versuch das nochmal mit den Nullzeilenbetrachtungen
07.01.2007, 15:04	Geta	Auf diesen Beitrag antworten »
ganze Nullzeile -> a=6/b=6 (unendlich viele Lösungen) halbe Nullzeile -> a=6/b#3 (keine Lösung) keine Nullzeile -> a#6/b#3 (genau eine Lösung) kann man das so machen? Scho ma Danke im Voraus für deine Hilfe!
07.01.2007, 15:21	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast dich zwar wohl bei der ganzen Nullzeile verschrieben aber sonst geht das genau so....prima Und gern geschehen, ich helfe dir gerne Gibt es sonst noch Fragen ? Gruß Björn
07.01.2007, 15:27	Geta	Auf diesen Beitrag antworten »
ach klar, muss natürlich b=3 sein. ya, eine Frage habe ich noch. Und zwar zur Aufgabe 2. Die $\begin{eqnarray} 2_4 \end{eqnarray}$ in der ersten Zeile wird in der Koeffizientenmatrix zu $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , oder? Da ich ya hier kein x habe?!
07.01.2007, 15:49	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du sicher dass du dich da nicht verschrieben hast und das ganze nicht doch $\begin{eqnarray} 2x_4 \end{eqnarray}$ heissen soll ? Ich wüsste nicht was $\begin{eqnarray} 2_4 \end{eqnarray}$ bedeuten sollte.
07.01.2007, 15:53	Geta	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich mir auch scho gedacht. Steht aber so auf dem Aufgabenblatt, könnte aber auch schlicht vergessen worden sein. Passiert dem Lehrer ab und zu.
07.01.2007, 16:21	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann rechen lieber mal mit $\begin{eqnarray} 2x_4 \end{eqnarray}$ weiter.

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