Grenzwert mittels Einschließungskriterium

09.11.2011, 16:55	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mittels Einschließungskriterium Hallo, ich muss den Grenzwert für: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt[3]{n^5} cos(n^3)} {n^2+1} \end{eqnarray}$ mit Hilfe des Einschließungskriteriums berechnen. Ich weiß, dass es eine Abschätzung ist, aber hier mal mein Ansatz und wozu die Abschätzung...oder denk ich zu kompliziert? Also: $\begin{eqnarray} \frac{ n^\frac{5} {3}} {n^2 + 1} cos(n^3) = \frac{n^2} {n^2} * \frac{n^-\frac{1} {3} } {1+\frac{1}{n^2}} * cos(n^3) \end{eqnarray}$ Jetzt glieder ich das mal aus, damit ich nicht so viel schreiben muss: $\begin{eqnarray} \frac{n^2} {n^2} \rightarrow 1<br /> \frac{1}{n^2} \rightarrow 1<br /> n^\frac{-1} {3} = \frac{1}{n} * \frac{1}{1^\frac{-1}{3}} \end{eqnarray}$ So...und nun die Auflösung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\rightarrow 0<br /> \rightarrow n^\frac{-1} {3}\rightarrow 0<br /> 110cos(n^3)\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ damit konvergiert die Sache gegen 0, oder? Und ich habe keinerlei Einschließung benötigt. Deshalb meine Frage. Ist das jetzt falsch, oder ist das nur ein viel komplizierterer Weg? Danke schonma
09.11.2011, 17:01	Verkasematucker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mittels Einschließungskriterium Die Idee beim Einschließungskriterium ist es, mittels Abschätzungen den zu untersuchenden Ausdruck durch möglichst einfache Ausdrücke einzuschließen. Dazu solltest Du das Ding betragsmäßig betrachten, den Cosinus wegschätzen und den Nenner etwas verkleinern. Dann sieht's direkt besser aus.
09.11.2011, 17:14	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mittels Einschließungskriterium Hmmm....also der Cosinus wird ja irgendwas zwischen-1 und 1. Ich könnte sagen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt [3] {n^5} < \sqrt{n^5} < n^5 \end{eqnarray}$ Der Nenner kann auch als $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ vereinfacht werden. Das wäre mein Ansatz. Denk ich. Das Betragsmäßige versteh ich nicht ganz. Ich gehe doch sowieso davon aus, dass n positiv ist, wenn n gegen unendlich strebt, oder?
09.11.2011, 17:26	Verkasematucker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mittels Einschließungskriterium Das mit dem Betrag erleichtert hier den Umgang mit dem Cosinus. Es ist also: $\begin{eqnarray} 0\leq\left\|\frac{\sqrt[3]{n^5}\cos(n^3)}{n^2+1}\right\|\leq\frac{\sqrt[3]{n^5}}{n^2}. \end{eqnarray}$ Jetzt noch das $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ mit unter die Wurzel und dann steht's eigentlich schon da.
09.11.2011, 17:39	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mittels Einschließungskriterium $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt[3]{n^5}}{n^2} = \sqrt[3]{n^5}n^{-2} = \frac{1} {\sqrt [3] {n}} \end{eqnarray*}$ Aber da seh ich jetz nix, was mich auf 0 schließen lässt.
09.11.2011, 17:43	Verkasematucker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mittels Einschließungskriterium Tja, das Wissen um den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{\frac 1n} \end{eqnarray}$ hatte ich frecherweise tatsächlich unterstellt.
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09.11.2011, 18:39	Piepe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mittels Einschließungskriterium ach ok...sorry...war n langer Tag. Ja wenn du's so schreibst, isses klar. Ich entschuldige mich

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