Lösungen von imaginären Gleichungen

09.11.2011, 17:23

weeky

Lösungen von imaginären Gleichungen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe zwei Probleme bei folgenden Aufgabenstellungen:

1.

Schreiben Sie (mit Rechenweg!) die folgenden komplexen Zahlen in der Form $\begin{eqnarray*} z= x+ iy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und geben Sie ihren Betrag an.

(5) $\begin{eqnarray*} z= (\frac{1+i}{\sqrt{2} } )^{17} \end{eqnarray*}$

2. Bestimmen Sie (mit Begründungen!) alle Lösungen der folgenden Gleichungen, und
stellen Sie sie in kartesischen und Polarkoordinaten dar.

(1) $\begin{eqnarray*} z^4 - 8=i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1. Ich habe wenige Ideen wie ich das ganze Lösen soll. Natürlich kann man das so schreiben: $\begin{eqnarray*} \frac{(1+i)^{17}}{\sqrt{2}^{17} } \end{eqnarray*}$ und der untere Teil ist ja dann Reell. Nur ich weiß nicht wie ich den oberen Teil $\begin{eqnarray*} (1+i)^{17} \end{eqnarray*}$ umforme.

2. Hier hab ich schon mehr Ideen, aber irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig. Ist es besser sie kartesisch zu lösen wie sie dasteht, also
$\begin{eqnarray*} (x+iy)^4 -8 =i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^4+4x^3yi+6x^2y^2i^2+4xy^3i^3+y^4i^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^4+4x^3yi-6x^2y^2+4xy^3i+y^4 \end{eqnarray*}$
aber hier komm ich nicht wirklich weiter.

Oder ich löse es exponentiell, also
$\begin{eqnarray*} (r*e^{i\phi})^4 -8= i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = r^4 e^{i4\phi} -8 =i \end{eqnarray*}$

Aber hier stört mich Differenz. Ich wär sehr dankbar wenn ihr einen Lösungsansatz parat hättet. Gruß Dustin

09.11.2011, 17:58

Abakus

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RE: Lösungen von imaginären Gleichungen
Hallo,

was wäre denn der Betrag der Zahl in Klammern? Und was folgt daraus?

Abakus smile

09.11.2011, 18:17

weeky

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Du sprichst von Aufgabe 1 ?

Man bestimmt doch den Betrag einer komplexen Zahl durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z \bar z \end{eqnarray*}$ oder ? Ich seh keine Möglichkeit die in die Form zu bringen, oder gibt es noch eine andere Möglichkeit, und ich sehe sie blos nicht ?

09.11.2011, 18:24

Abakus

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RE: Lösungen von imaginären Gleichungen
Was ist der Betrag von:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Abakus smile

09.11.2011, 18:34

weeky

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Also der Betrag von $\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2} } + i \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ . Wie schließe ich darauf, dass der Betrag von dem Ding genau gleich ist von $\begin{eqnarray*} (\frac{1+i}{\sqrt{2} })^{17} \end{eqnarray*}$ ?
Also laut Google ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } + i \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ auch die Lösung in kartesischer Darstellung für die erste Darstellung, aber ich erkenne leider nicht, wieso das hoch 17 keine Rolle spielt :/

09.11.2011, 22:58

weeky

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Okay ich hab die zweite Aufgabe gelöst glaube ich:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1+i}{\sqrt{2} } )^{17} = ( \frac{1}{\sqrt{2} } + i \frac{1}{\sqrt{2} } ) ^{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\sqrt{ (\frac{1}{\sqrt{2} })^2 + (\frac{1}{\sqrt{2} })^2 } * e ^{ i* \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } })^{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (1e^i)^{17} = 1^{17} e^{17i} = e^i \end{eqnarray*}$ also ist die hoch 17 irrelevant, die Zahl ist daher $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } + i \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ und der Betrag ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$
Kann das so hinkommen ?

Kann mir jemand bei der oberen Aufgabe noch einen Hinweis geben ?

10.11.2011, 00:31

Dopap

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Zitat:

Original von weeky

$\begin{eqnarray*} = (1e^i)^{17} = 1^{17} e^{17i} = e^i \end{eqnarray*}$ also ist die hoch 17 irrelevant....

In "kartesischen Koordinaten" ist $\begin{eqnarray*} e^i = \cos (1)+i \cdot \sin (1) \end{eqnarray*}$

In "kartesischen Koordinaten" ist $\begin{eqnarray*} e^{17i} = \cos (17)+i \cdot \sin (17) \end{eqnarray*}$

und das soll dasselbe sein??

( aber nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} 17 ~\text {mod}~ 2\pi = 1 \end{eqnarray*}$ gelten würde).

Tipp: je nach Gusto zwischen Polar und Kartesisch variieren.

Bei 2.) $\begin{eqnarray*} z^4=8+i \end{eqnarray*}$ sind die 4 Wurzeln zu bestimmen. Das geht über Polar und dann noch Umwandlung in Kartesisch, meiner Meinung nach.

10.11.2011, 00:39

weeky

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ach verdammt, ja klar ist das nicht das selbe, das war doof gedacht von mir, das hat so schlüssig ausgesehen. Mist, ist das im Ansatz wenigstens die richtige Methode ? Ich weiß halt nicht, wie man zeigen kann, dass die hoch 17 keinen Einfluss auf das innere in der Klammer hat, weil das ja die richtige Lösung ist. Oder ist die richtige Lösung dann vielleicht doch $\begin{eqnarray*} cos(17) + i*sin(17) \end{eqnarray*}$ ?

10.11.2011, 01:36

weeky

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ach verdammt, ja ich sehe meinen Fehler auch selbst.
es ist auch: $\begin{eqnarray*} (e^{i*arctan(1)})^{17} = e^{17i*arctan(1)} \end{eqnarray*}$ . Ist das der richtige Weg ? Wie wandel ich das jetzt in kartesische Form um ? Mich ärgert diese Aufgabe so sehr Big Laugh

ALso das Ding ist, egal wie ich mich drehe und wende, ich komm nicht auf die eine entscheidene Aussage. Ich muss ja quasi zeigen, wenn ich das auf die Variante mache, dass $\begin{eqnarray*} cos(17*arctan(1)) = 1/\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Gut, also wie beweise ich das ? ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} cos(arctan(1)) = 1/\sqrt(2) \end{eqnarray*}$ , also wieso spielt hier die 17 auch keine Rolle ?
Ich hab mir die Gleichung $\begin{eqnarray*} cos(x)= \sqrt{\frac{1}{tan^2(x)+1}} \end{eqnarray*}$ hergeleitet, und wenn $\begin{eqnarray*} x=17*arctan(1) \end{eqnarray*}$ gilt also $\begin{eqnarray*} cos(x)= \sqrt{\frac{1}{tan^2(17*arctan(1))+1}} \end{eqnarray*}$ . Also muss weiterhin gelten, dass $\begin{eqnarray*} tan(17*arctan(1)) = 1 \end{eqnarray*}$ Wenn ich mir die Funktion tan(x*arctan(1)) = f(x) plotte, dann seh ich, dass sie an ungeraden Stellen sich immer auf -1, bzw +1 zubewegt. Aber wie beweise ich das ? Oder mach ich mir das Leben grad schwer und das ganze ginge viel einfacher ?

10.11.2011, 21:16

Dopap

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Zitat:

Original von weeky

$\begin{eqnarray*} = (\sqrt{ (\frac{1}{\sqrt{2} })^2 + (\frac{1}{\sqrt{2} })^2 } * e ^{ i* \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } })^{17} \end{eqnarray*}$

sehe gerade, dass hier der Winkel nicht stimmt. Der ist nämlich $\begin{eqnarray*} \frac \pi 4 \end{eqnarray*}$
Hat mal wieder keiner aufgepasst.

$\begin{eqnarray*} = \left(1\cdot e^{i\frac \pi 4} \right)^{17}= e^{i\frac {17\pi}{ 4}} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste es einfacher sein.

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