Halbordnung, kleinstes Element

09.11.2011, 17:38

DudiPupan

Halbordnung, kleinstes Element

Guten Nachmittag,
ich hänge gerade bei folgender Aufgabe:

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} P( \mathbb N ), \subseteq ) \end{eqnarray*}$ .
a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ eine Halbordnung auf $\begin{eqnarray*} P( \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} P( \mathbb N ), \subseteq ) \end{eqnarray*}$ jedoch nicfht vollständig geordnet ist.
b) Zeigen oder widerlegen sie: Jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} P( \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ besitzt bezüglich $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ein kleinstes Element.

Mir fehlt leider völlig der Ansatz und bin über jede Hilfe dankbar!

09.11.2011, 18:00

Abakus

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RE: Halbordnung, kleinstes Element
Hallo,

was ist eine Halbordnung, was bedeutet vollständig geordnet, und was ist ein kleinstes Element?

Abakus smile

09.11.2011, 18:12

DudiPupan

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Eine Halbordnung muss folgende Eigenschaften haben:
Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie.
Wäre dann eine vollständige Ordnung, wenn es Symmetrisch, anstatt antisymmetrisch wäre?

09.11.2011, 18:21

Abakus

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Zitat:

Original von DudiPupan
Eine Halbordnung muss folgende Eigenschaften haben:
Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie.
Wäre dann eine vollständige Ordnung, wenn es Symmetrisch, anstatt antisymmetrisch wäre?

Das mit der Halbordnung stimmt. Wenn du symmetrisch statt antisymmetrisch dazu nimmst, kriegst du eine Äquivalenzrelation.

Schaue in dein Skript, was eine vollständige Ordnung sein soll.

Wenn du weißt, was alle die Begriffe bedeuten, kannst du dein ersten Schritt machen, und überlegen, ob die für die Aufgabe zutreffen.

Abakus smile

09.11.2011, 18:27

DudiPupan

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Muss es ein Supremum geben, für eine vollständige Ordnung?

09.11.2011, 18:29

Abakus

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Zitat:

Original von DudiPupan
Muss es ein Supremum geben, für eine vollständige Ordnung?

Bitte schaue nach und rate nicht.

Abakus smile

09.11.2011, 18:35

DudiPupan

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Okay, habe es nachgeschlagen!
Linear muss es für eine vollständige Ordnung sein!

09.11.2011, 18:40

DudiPupan

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Kann ich dann folgendermaßen vorgehen?
Seien $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq P(\mathbb N ) \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} A \subseteq A, B \subseteq B \end{eqnarray*}$ ,
da $\begin{eqnarray*} A=A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=B \end{eqnarray*}$ .
somit ist die reflexivität nachewiesen.
Für die Antisymmetrie:
Aus $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \wedge B \subseteq A \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich bei transitiv und linear vor?

09.11.2011, 18:47

DudiPupan

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Es wäre ja folgendes:
Seien $\begin{eqnarray*} A,B,C \subseteq P( \mathbb N) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \subseteq C \end{eqnarray*}$ , dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} A \subseteq C \end{eqnarray*}$ .

Aber wie beweise ich das?

09.11.2011, 18:53

DudiPupan

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Vielleicht so:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \subseteq C \end{eqnarray*}$ .
Somit gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => A \subseteq C \end{eqnarray*}$

??????????????????

09.11.2011, 19:12

DudiPupan

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Und für den Gegenbeweis zur Linearität hätte ich:
da für $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ weder $\begin{eqnarray*} \left\{a\right\} \subset \left\{b\right\} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \left\{b\right\} \subset \left\{a\right\} \end{eqnarray*}$ gilt ist $\begin{eqnarray*} (P( \mathbb N ), \subseteq) \end{eqnarray*}$ nicht linear und somit auch nicht vollständig geordnet.

Stimmt das?

10.11.2011, 23:01

Abakus

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Ja, richtige Ideen.

Abakus smile

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