Beweis natürliche Zahl |
| 09.11.2011, 19:37 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis natürliche Zahl Aufgabenstellung: Zeige für alle , dass die folgende Aussage gilt ist eine natürliche Zahl Mein Lösungsansatz: Könnte man viell. zeigen, dass es eine (Cauchy-)Folge ist? Irgendwelche Tipps?? |
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| 09.11.2011, 19:41 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zeige, dass für alle durch teilbar ist. air |
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| 09.11.2011, 19:56 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für deine Antwort! Allerdings hilft mir das im Moment nicht wirklich weiter. Wie kann ich das denn zeigen? |
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| 09.11.2011, 20:00 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist schade! Darauf sollte ich eigentlich antworten: Wenn es dir nicht weiterhilft, hast du dann überhaupt verstanden, warum du ausgerechnet das zeigen sollst? Aber ich bin mal nicht so und schreibe neben obiger Rückfrage noch gleich den Hinweis zum weiteren Vorgehen: Wie so oft, wenn man was für zeigen möchte, stößt man die mathematische Dominokette an. 
air |
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| 09.11.2011, 20:12 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vollständige Induktion hab ich mir schon überlegt (hätte ich viell. schreiben sollen 
), allerdings komme ich da nicht weiter...dachte, dass das viell der falsche Ansatz ist.Induktionsanfang: für n=1: Sei A(n) wahr, dann ist auch A(n+1) wahr Induktionsschritt: naja und dann weiß ich nicht genau, wie der Beweis weiter folgt... |
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| 09.11.2011, 20:17 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hängt davon ab, wie du denn zeigen willst, dass das, was da rauskommt, eine natürliche Zahl ist. Die naheliegendste Methode war mein erster Tipp: Teilbarkeit durch 6 zeigen. Damit kannst du es dir auch sparen, immer diesen Bruch zu schreiben. Was den Fortgang angeht, darfst du ruhig ein wenig mutig sein. Wie mein Statistik-Professor erst heute sagte: "Wenn man gar nicht weiter weiß, erstmal ausmultiplizieren". Auch eine gute Idee ist es, zu schauen, wo man eigentlich hinmöchte. Du machst eine Induktion, also möchtest du irgendwann die Induktionsvoraussetzung anwenden ... logischerweise sollte der Term dann irgendwann wieder auftauchen. air |
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| 09.11.2011, 20:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ob das wohl ein guter Rat ist ... Ich glaube, das ist genau die Crux, daß die Leute viel zu schnell ausmultiplizieren, statt erst einmal nach einer Faktorisierung Ausschau zu halten. Und hier liegt sie ja auf der Hand, schließlich sind und Nullstellen des Polynoms in mit den ganzzahligen Koeffizienten. Zumindest die ersten beiden sieht man ohne weiteres. Wenn man aber schon zwei rationale Nullstellen hat, muß ja auch die dritte rational sein (Abspalten von Linearfaktoren). Entweder errät man sie oder man rechnet. Und schon hat man eine Faktorisierung des Polynoms. Und wenn man die Formel für die Summe der ersten Quadratzahlen schon kennt, ist die Aufgabe ja sowieso eine Trivialität. Natürlich nur dann ... |
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| 09.11.2011, 20:43 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den ersten Teil des Zitats bitte auch lesen: Wenn man gar nicht weiter weiß. Mein Anliegen war es eigentlich, den Fragesteller selbst auf eine Lösung kommen zu lassen. Es mag nicht direkt die "schnellste" sein, aber da es eine der ersten Induktionen zu sein scheint, wollte ich ihn das Gespür dafür selbst entwickeln lassen. Zumal das Ausmultiplizieren bei dieser Aufgabe keineswegs schwierig ist und man keine echte Faktorisierung benötigt. Eine Aufteilung zwei Summanden statt Faktoren geht hier auch und genügt völlig. air |
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| 09.11.2011, 20:57 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau um den ersten Teil des Zitats geht es ja. Viel zu schnell vermeinen die Leute nicht mehr weiter zu wissen. Es mag formal-logisch dasselbe sein, dennoch würde ich es sprachlich in andere Worte gießen: Versuche, solange du kannst, eine Faktorisierung zu finden. Auf den Akzent kommt es hier an. |
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| 09.11.2011, 21:11 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wage jetzt aber mal zu behaupten, dass für den durchschnittlichen Erstsemester gilt, dass zwei, drei Binome schneller ausmultipliziert sind, als man eine Faktorisierung gefunden hat. Die Faktorisierung ist ohne Frage eine elegantere Lösung. Wirklich umfangreich wird eine Induktion hier aber auch nicht. Ich sehe das prinzipiell so: Bevor man anfängt, zu tricksen, sollte man erstmal sicher mit Salz und Wasser kochen können. Und die Tatsache, dass der Fragesteller völlig ideenlos war, verrät, dass er das noch nicht sicher kann. air |
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| 09.11.2011, 21:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
lässt sich als Linearkombination (mit ganzzahligen Koeffizienten) von vier Binomialkoeffizienten darstellen, z.B. . Mit dieser Methode lassen sich eigentlich alle diese Beweisaufgaben vom Typ "" lösen. Vorausgesetzt, man weiß, dass sämtliche diese Binomialkoeffizienten ganzzahlig sind.
P.S.: Ist auch nicht unbedingt die hohe Kochschule, wenn man es nur einmal gesehen hat. 
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| 09.11.2011, 21:37 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, ausmultipliziert habe ich das ganze, aber es hängt immer noch.... Mein Ergebnis: allerdings hilft mir das im Moment auch nicht... |
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| 09.11.2011, 22:16 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein bisschen besser aufpassen und dir das Gesagte zu Herzen nehmen musst du schon!
Allerdings willst du ja auch auf Teufel komm raus den Bruch mitschleppen. Mehr als dir sagen, dass und warum das unnötig ist, kann ich ja aber auch nicht tun. air |
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| 09.11.2011, 22:58 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm... ich habe mir das ganze jetzt nochmal angeschaut...kann ich die Teilbarkeit durch 6 so beweisen... für n=1: und somit habe ich die Teilbarkeit durch 6 gezeigt. Allerdings hängt es im Induktionsschritt immer noch etwas: wie kann ich dann die Induktionsvoraussetzung sehen? Oh ok: ich habe glaube ich für den Induktionsschritt zu schnell zusammen gefasst... somit habe ich in der Klammer ja meine Induktionsvoraussetzung...oder? Und dann hab ich doch jetzt gezeigt, dass die Teilbarkeit auch für n+1 gilt...reicht das als Beweis? |
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| 09.11.2011, 23:05 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau! In der Klammer steht die Voraussetzung, dieser Term ist also durch 6 teilbar. Um einzusehen, dass der Rest auch durch 6 teilbar ist, musst du eine 6 ausklammern. Dann hast du nämlich "6 * natürliche Zahl" über und das ist offenbar durch 6 teilbar. Da beide Summanden durch 6 teilbar sind, ist es auch die Summe. Und das wolltest du zeigen. Ein allgemeiner Tipp: Wenn man was "haben" will, was nimmer vorkommt, addiert man es und zieht es wieder ab (a = (a + b) - b). Nennt sich nahrhafte Null. Einfach mal googeln.
Und damit verabschiede ich mich. 
air |
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| 09.11.2011, 23:06 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super
Vielen Dank für deine Hilfe! |
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| 09.11.2011, 23:08 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern. Ich hoffe, du hast meinen kleinen Edit noch gelesen!
Ach, und du kannst auch mal Leopolds Ansatz probieren. Es würde sich definitiv lohnen, sich solche Vorgehensweisen auch anzulernen. air |
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