Markovkette - ja oder nein?

09.11.2011, 19:59	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovkette - ja oder nein? Hallo Matheboard, ich habe folgende Aufgabe vor mir und weiß nichts damit anzufangen: Ein Würfel wird mehrmals geworfen, dies wird modelliert durch eine u.i.v. Folge von ZVen $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ , die gleichverteilt sind auf $\begin{eqnarray} \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray}$ .Entscheide, welcher der folgenden Prozesse ein Markov-Prozess ist: 1. zu $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} N=(N_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} N_n \end{eqnarray}$ die Anzahl der Sechsen in den letzten k Würfen zur Zeit n sei. 2. $\begin{eqnarray} C=(C_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ die zur Zeit n vergangene Zeit seit der letzten Sechs ist. Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich hier rangehen soll. Ich weiß, wie eine Markovkette definiert ist, nämlich, dass das Ereignis in der Zukunft, nur von dem Ereignis in der Gegenwart, jedoch nicht in der Vergangenheit abhängen darf, oder in anderen Worten: $\begin{eqnarray} P(X_{n+1} = i_n \| X_k = i_k, 0\leq k \leq n) = P(X_{n+1} = i_n \| X_n = i_n) \end{eqnarray}$ Ich sehe aber nicht, wo mir das weiterhilft. Gibt es irgendein anschauliches Argument? Naja erstmal meine Gedanken: Zu 1.: ich weiß, dass $\begin{eqnarray} N_n \end{eqnarray}$ evtl so definiert sein kann: $\begin{eqnarray} N_n(x):= 1_{\{6\}}(x)+N_{n-1}, N_0(x):=1_{\{6\}}(x \end{eqnarray}$ stimmt das? bzw hilft mir das weiter? Zu 2.: Naja das Eregnis ist immer 0 sobald eine 6 aufgetreten ist und ungleich 0 wenn nicht, dann kennzeichnet $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ vor wieviele Würfen eine Sechs kam. Weiter weiß ich nicht. Hoffe mir kann geholfen werden MfG Seren
09.11.2011, 22:38	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovkette - ja oder nein? Hallo, Also rein intuitiv würde ich sagen, dass a) keine ist aber b) schon. Mal kurz was ich mir gerade überlegt habe: zu a): Das Problem ist wenn der n-k te Wurf eine 6 war und N_n = x ist (x ist irgendeine Zahl), dann ist es N_n+1 eben nicht egal was vor N_n war, denn hier würde ja N_{n+1} sich verringern (bei keiner 6) oder gleichbleiben (bei einer 6), da man ja nun nur noch bis n-k+1 zurückschaut und es somit hier auf den n-k ten Wurf ankommt. Also hängt das Verhalten von dem ab was insgesamt passiert ist... Etwas wage formuliert, kannst du dir aber ja nochmal durch den Kopf gehen lassen. zu b): Hier kann man sagen, dass es C_{n+1} egal ist was davor war, denn diese ZV interessiert sich nur daran welchen Wert die ZV direkt davor hatte, sodass sie also entweder auf C_{n} +1 oder auf 0 springt. Also das so meine Gedanken dazu. Wie man das dann formal hinschreibt ist eine andere Sache. Evtl. mach ich mir da morgen mal noch Gedanken. Schöne Grüße.
10.11.2011, 00:12	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Zündholz, vielen Dank für deine Antwort. Das hat einiges klarer gemacht auf jeden Fall. MfG

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