Lipschitz-Bedingung einer DGL nachrechnen

09.11.2011, 20:44	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Bedingung einer DGL nachrechnen Meine Frage: Hallo. Ich soll die Eindeutigkeit und Existenz einer Lösung einer DGL: $\begin{eqnarray} x'(t)=\sqrt{1+t^2x(t)^2}, t\in \mathbb R \end{eqnarray}$ nachprüfen. Meine Ideen: Ich bin bis zur folgenden Ungleichung gekommen: $\begin{eqnarray} \| \sqrt{1+t^2x^2} -\sqrt{1+t^2y^2} \| \leq \| \frac{t^2(x+y)}{\sqrt{1+t^2x^2} +\sqrt{1+t^2y^2} } \| \| x-y \| \end{eqnarray}$ Nun komme ich nicht weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben?
14.11.2011, 17:56	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Mit deiner Herangehensweise wird's wohl schwer eine Lipschitzkonstante für ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ zu bekommen (lokale Lipschitzkonstanten findet man jedoch durchaus, wenn dir das reicht). Grundsätzlich einfacher geht es mit dem Mittelwertsatz. Dieser impliziert $\begin{eqnarray} \left\| \sqrt{1+t^2x^2} -\sqrt{1+t^2y^2} \right\| \leq \left\\| \frac{t^2\xi}{\sqrt{1+t^2\xi^2}} \right\\|_\infty \cdot \| x-y \| \end{eqnarray}$ wobei das Supremum über alle $\begin{eqnarray} \xi \in \mathbb R \end{eqnarray}$ genommen werde (dieses lässt sich gut weiter abschätzen, um eine konkrete Konstante zu bekommen).

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