Vollständige Induktion mit Lücken in N

09.11.2011, 21:33

Vollständige Induktion mit Lücken in N

Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} \left\{ 2, 3, 4\right\} \end{eqnarray*}$
gilt die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 7^{n} \geq n^{6} \end{eqnarray*}$

Diese Aufgabe sollen wir natürlich mit vollständiger Induktion beweisen.
Wie löse ich die Ungleichung durch umformen im Induktionsschritt?
Ferner: Was habe ich bei der Induktion zu beachten/anders anzugehen, wenn in meinem $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht alle Elemente auftauchen?

Meine Ideen:
Mein Ansatz war bisher für den Induktionsanfang n=0 und n=1 zu setzen, wobei dann jeweils
$\begin{eqnarray*} 7^{0} \geq 0^{6} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 7^{1} \geq 1^{6} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 7 \geq 1 \end{eqnarray*}$

Somit muss ich meinen eigentlichen Anfang bei n=5 machen, also:

$\begin{eqnarray*} 7^{^5} \geq 5^{6} \end{eqnarray*}$ , wobei ich hier auch nicht weiß, wie die am meisten vereinfachte Ungleichung (ohne Kommazahldarstellung) aussehen würde.

Mit der Induktionsannahme sage ich dann also nach wie vor
Für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} \left\{ 2, 3, 4\right\} \end{eqnarray*}$

Dann kommt der Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} 7^{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 7^{n} * 7^{1} \end{eqnarray*}$ , sodass nach der Induktionsannahme gilt $\begin{eqnarray*} n^{6} * 7^{1} \geq (n+1)^{6} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich ja irgendwie weiter umformen können, damit ich auf mindestens $\begin{eqnarray*} (n+1)^{6} \end{eqnarray*}$ komme.

Und genau ab hier weiß ich einfach garnicht mehr weiter.
Des Weiteren habe ich auch keine Erfahrung mit den genannten Lücken in N, was ich in solchen Fällen dann zusätzlich beachten sollte im Gegensatz zu Induktionen, die für Alle N (mit/ohne 0) gelten.

TIPP von Aufgabenstellung:
Es hieße, man darf verwenden, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{7} \geq \frac{6}{5} \end{eqnarray*}$ gilt und man den Taschenrechner in dem Fall verwenden darf. Habe ich jedoch auch nicht verstanden.

Bin wirklich am verzweifeln und hoffe, ihr könnt mir hierbei helfen.
Vielen Dank im Voraus!

VG,
L4

11.11.2011, 11:20

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*Bump*

11.11.2011, 11:55

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion mit Lücken in N

Zitat:

Original von L4
Dann kommt der Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} 7^{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 7^{n} * 7^{1} \end{eqnarray*}$ , sodass nach der Induktionsannahme gilt $\begin{eqnarray*} n^{6} * 7^{1} \geq (n+1)^{6} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. nach der Induktionsannahme gilt nur, daß $\begin{eqnarray*} 7^n \cdot 7^1 \geq n^6 \cdot 7 \end{eqnarray*}$ ist und nun muß gezeigt werden, daß $\begin{eqnarray*} n^6 \cdot 7 \geq (n+1)^6 \end{eqnarray*}$ ist.

Dazu betrachte man $\begin{eqnarray*} 1 + \frac 1 n \end{eqnarray*}$ . Das fällt monoton, so daß für n >=5 unter Verwendung der Vorgabe gilt:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac 1 n \leq \frac 6 5 \leq \sqrt[6]{7} \end{eqnarray*}$

Das noch mit 6 potenzieren und man ist quasi am Ziel. Augenzwinkern

12.11.2011, 19:12

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Ah, ich habe mit "...nach IA gilt..." das richtige gemeint und das falsche hingeschrieben.

Okay, d.h. du betrachtest $\begin{eqnarray*} 1 + \frac 1 n \end{eqnarray*}$ erst nachdem du bei der Ungleichung zuerst die 6. Wurzel ziehst und anschließend durch n teilst.
Und mit 6/5 zeigst du quasi nochmal das Beispiel vom Induktionsanfang (also n = 5).

D.h. in der Vollständigen Induktion geht es eben nicht immer darum, die Linke Seite so zu formen, bis mindestens etwas auf der rechten Seite wieder zu erkennen ist, sondern man darf durchaus auch die gesamte Ungleichung auf beiden Seiten umformen, um zu zeigen, dass es für n+1 gilt? Habe ich das so richtig verstanden?

Soweit danke nochmal, hat mir bisher schon zum Verständnis weitergeholfen! smile

12.11.2011, 23:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von L4
D.h. in der Vollständigen Induktion geht es eben nicht immer darum, die Linke Seite so zu formen, bis mindestens etwas auf der rechten Seite wieder zu erkennen ist, sondern man darf durchaus auch die gesamte Ungleichung auf beiden Seiten umformen, um zu zeigen, dass es für n+1 gilt? Habe ich das so richtig verstanden?

Im Prinzip ja. Am besten geeignet sind dafür Äquivalenzumformungen.

13.11.2011, 10:55

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Super

Abschließend nochmal vielen Dank!

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