Kreis, externer Punkt und 2 Tangenten

09.11.2011, 21:47

Rumpfi

Kreis, externer Punkt und 2 Tangenten

Gegeben sind die Koordinaten in vom Mittelpunkt C eines Kreises und eines Punktes P außerhalb des Kreises sowie der Radius r des Kreises. Die Koordinaten befinden sich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = \begin{pmatrix} 23.95 \\ 15.62 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} 18.04 \\ 5.71 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = 1 \end{eqnarray*}$

Gesucht sind die Punkt T1 und T2, die an der Kreiskante liegt und 2 Tangenten zum Punkt P bilden.

Mit diesen Angaben kann ich zwar die Länge der beiden Tangenten ausrechnen (mit Satz des Pythagoras), aber ich hab keine Ahnung, wie ich auf $\begin{eqnarray*} T_1, T_2 \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ kommen soll. Könnt ihr mir da weiterhelfen?

lg Rumpfi

09.11.2011, 22:15

riwe

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RE: Kreis, externer Punkt und 2 Tangenten
der einfachste weg: polare aufstellen oder K mit dem thaleskreis schneiden

09.11.2011, 22:25

Rumpfi

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RE: Kreis, externer Punkt und 2 Tangenten

Zitat:

Original von riwe
der einfachste weg: polare aufstellen oder K mit dem thaleskreis schneiden

Es sollte aber eine mathematische Lösung sein, die dann für später auch in einer Programmiersprache Verwendung finden soll. Ein Computer kann nicht wirklich mit einer Zeichnung was anfangen, oder?

Edit:

Ich hab jetzt eine Lösung gefunden. Ich rechne den Winkel aus zwischen (C-P) und r.

$\begin{eqnarray*} \alpha = \arcsin \frac{r}{| C - P |} \end{eqnarray*}$

Aus der Computergrafik kann man jetzt die Rotationsformel um den Nullpunkt verwenden und baut dann gleichzeitig die Tranlationsformel mit ein. Damit bekommt man unsere beiden Vektoren T1 und T2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{T_1} \\ y_{T_1} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (\alpha) & -\sin (\alpha) & P_x \\ \sin (\alpha) & \cos (\alpha) & P_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} C_x - P_x \\ C_y - P_y \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{T_2} \\ y_{T_2} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (-\alpha) & -\sin (-\alpha) & P_x \\ \sin (-\alpha) & \cos (-\alpha) & P_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} C_x - P_x \\ C_y - P_y \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In meinem Beispiel bekomm ich folgende Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} T_1 = \begin{pmatrix} 23.069 \\ 16.095 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_2 = \begin{pmatrix} 24.787 \\ 15.071 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.11.2011, 00:03

riwe

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RE: Kreis, externer Punkt und 2 Tangenten
niemand redet von zeichnen Augenzwinkern

zum programmieren würde ich allerdings den vektoriellen weg gehen, da gibt´s keinerlei bosheiten wie vertikale geraden etc.

das ergibt hier für den einen punkt

$\begin{eqnarray*} T_1(24.76/ 15.04) \end{eqnarray*}$

edit: da du deine lösung nachträglich dazu gemalt hast.

ziemlich ungenau, würde ich sagen Augenzwinkern

(ich habe deine rechnung nicht so genau angeschaut, hoffentlich gibt es da nie problemchen mit den winkeln)

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