Konvergenzintervall von der Potenzreihe x^(n!) bestimmen

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funkloch Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzintervall von der Potenzreihe x^(n!) bestimmen
Meine Frage:
Das genaue Konvergenzintervall der Potenzreihe

soll bestimmt werden.


Meine Ideen:
Bin mir wirklich unsicher wie ich damit umgehen soll...
Als erstes wär meine Idee:

Nach der Formel von Euler ergibt sich ja


also hängt der Konvergenzradius von x ab.
Muss ich dann eine Fallunterscheidung machen?
Ist dann für |x|>1 als Intervall ]x[ anzugeben, oder wie?

Ich danke im voraus für eure Hilfe.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so noch keine Potenzreihe der Form . Bevor du eine Formel anwenden kannst, musst du erst diese Form generieren.
funkloch Auf diesen Beitrag antworten »

Meintest du das so?



also

aber das ändern dann doch nichts am Konvergenzradius, oder?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

muss eine Konstante sein und darf nicht von abhängen. Tipp: Schreib die Reihe mal ohne Summenzeichen (also ausgeschrieben mit ) hin. Und dann darunter

funkloch Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dann etwa

für alle n

und damit ist dann R=1 ??

Das wäre irgendwie zu einfach...
funkloch Auf diesen Beitrag antworten »

ne stopp, das war Blödsinn

Es dürfen ja nur diejenigen sein

für die gilt oder?

alle anderen dann


aber wie schreibt man denn sowas korrekt auf?
 
 
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist korrekt. Der Schlüssel ist hier die Formel von Cauchy-Hadamard (hier ist es wichtig, dass man nicht mit Limiten allein, sondern mit dem limes superior arbeitet).
So, bin mal im Bett.
funkloch Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank schon mal bis hierhin, Duedi!

Um das ganze jetzt halbwegs korrekt aufzuschreiben:
(bitte korregieren, falls was fehlt oder falsch)

Ich definiere eine Folge mit

falls sonst

dann ist


Das Konvergenzintervall ist dann ]x-1,x+1[


Wäre das so in einer Klausur ausreichend?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Das Konvergenzintervall ist dann , aber sonst richtig.
cupoftee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das vertseh ich leider nicht ganz...
Ich dachte x wäre der Entwicklungspunkt und das Intervall ist dann ]x-R,x+R[
Wenn das richtige Intervall ]-1,1[ ist, dann ist der Entwicklungspunkt ja gleich Null. Warum ist das so?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Weil eine Reihe mit Entwicklungspunkt von der Form ist und hier ist. Damit ist der Konvergenzbereich
funkloch Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich ein!
Durch die letzte Erklärung ist mir auch mein Denkfehler klar geworden. Danke.
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