Halbordnung auf die P(N)

10.11.2011, 01:40

martinio

Halbordnung auf die P(N)

Hallo,

kann mir jemand bitte diese Aufgabe erklären?

Zitat:

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} ( P (\mathbb N ), \subseteq ) \end{eqnarray*}$ .Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ eine Halbordnung auf $\begin{eqnarray*} P (\mathbb N ) \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} ( P (\mathbb N ), \subseteq ) \end{eqnarray*}$ jedoch nicht vollständig geordnet ist.

ich würde die aufgabe in zwei teile teilen:

(i) Der Beweis, dass $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ eine Halbordnung auf $\begin{eqnarray*} P (\mathbb N ) \end{eqnarray*}$ ist.

(ii) Der Beweis, dass $\begin{eqnarray*} ( P (\mathbb N ), \subseteq ) \end{eqnarray*}$ nicht vollständig geordnet ist.

zu (i) : eine Halbordnung auf eine Menge existiert dann , wenn die drei Kriterin a)Reflexsivität b)Transitivität c)Antisymetrie erfüllt sind. Die Definitionen dazu sind mir bekannt.

Aber was zur Hölle soll $\begin{eqnarray*} ( P (\mathbb N ), \subseteq ) \end{eqnarray*}$ das bedeuten? Soll ich mir jetzt irgentwelche Teilmengen nehmen und das beweisen? Bitte klärt mich auf.
Ich würde dann an dieser Stelle so beginnen:

Seien $\begin{eqnarray*} \forall A,B,C \subseteq P (\mathbb N ) \end{eqnarray*}$
i.i:reflexsiv:
$\begin{eqnarray*} \forall A \subseteq P (\mathbb N ): A \subseteq A \end{eqnarray*}$
i.ii: transitiv:
$\begin{eqnarray*} \forall A,B,C \subseteq P (\mathbb N ): A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq B \subseteq C \Rightarrow A\subseteq C \end{eqnarray*}$
i.iii: antisymetrisch:
$\begin{eqnarray*} \forall A,B \subseteq P (\mathbb N ): A\subseteq B\wedge B\subseteq A \Rightarrow A = B \end{eqnarray*}$

q.e.d. (i)

zu (ii): Per Definition:
Eine Menge X mit einer Halbordnung R heißt "wohlgeordnet" , wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in X: x-y \vee y-x \end{eqnarray*}$
ich entschuldige mich an dieser Stelle, dass der Formeleditor mir nicht das Relationszeichen zulässt.

okay auf die Aufgabe bezogen beudetet das also:
Seien $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq P (\mathbb N ) \end{eqnarray*}$ , sodass gilt :

$\begin{eqnarray*} \forall A,B \subseteq P (\mathbb N ): A \subseteq B \vee B \subseteq A \end{eqnarray*}$
Wie zeige ich nun, dass dem nicht so ist ? Meine Idee wäre ein Kontrapositionsbeweis der Defnition oder ein Kontrapostionsbeweis vom Wohlordnungsatz.
Wenn man mal die Potenzmenge der natürlichen Zahlen betrachtet, sieht man ja , dass keine Ordnung , bzw. dass es kein erstes Element existiert.

Ich bitte um Ratschläge und dass sich jmd. mit diesem Post beschäftigt.... ich denke, dass dass sich meine Ideen nicht nach "öhm wie geht das anhören", sondern dass ich mich ernsthaft gedanken dazu mache und dass diesem auch entsprechen respekt gegenüber gebracht werden sollte.

10.11.2011, 01:57

DudiPupan

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Noch ein Nachzügler von der Uni Konstanz?! Big Laugh

Also ich hab das folgendermaßen bewiesen:
$\begin{eqnarray*} (P( \mathbb N), \subseteq \end{eqnarray*}$ ist vollständig geordnet, falls linear:
Da jedoch für bsplsweise $\begin{eqnarray*} \left\{a\right\},\left\{b\right\} \in P( \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ weder $\begin{eqnarray*} \left\{a\right\} \subseteq \left\{b\right\} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \left\{b\right\} \subseteq \left\{a\right\} \end{eqnarray*}$ gilt ist $\begin{eqnarray*} (P( \mathbb N), \subseteq \end{eqnarray*}$ nicht linear und somit auch nicht vollständig geordnet.

Ich übernehme keine Haftung für die Lösung Big Laugh

Und das Relationszeichen schreibst du in latex mit \sim

10.11.2011, 02:01

DudiPupan

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Den Rest hab ich so im großen und ganzen gleich.

10.11.2011, 02:36

martinio

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jap konstanz Augenzwinkern

welches semester bist du?

deine lösung hört sich gut an, so hab ich mir es auch gedacht !
danke Big Laugh

muss jetzt noch die zweite teiaufgabe für morgen lösen. Weiß nicht, ob du sie kennst.

Zitat:

Zeigen oder widerlegen Sie: Jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} P (\mathbb N ) \end{eqnarray*}$ besitzt bezüglich $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ein kleinstes Element

Das muss man ja dann mit dem wohlordnungssatz machen denke ich... ich mach mich mal ran, wenn du ideen hast, bin für alles offen (:

10.11.2011, 12:48

DudiPupan

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Also da hab ich mir überlegt, dass ja bewiesen oder widerlegt werden soll, dass jede TEILMENGE von $\begin{eqnarray*} P( \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ ein kleinstes Element besitzt.
Aber wenn wir zum Beispiel die leer Menge Ø ja Teilmenge von $\begin{eqnarray*} P( \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ ist, aber diese kein kleinstes Element besitzt, ist die Behauptung widerlegt!

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