Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen

10.11.2011, 01:50	cupoftee	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen Meine Frage: Es soll der Konvergenzradius bestimmt werden von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{n} x^{n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} a_{n} = \sqrt{n} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+1} } \| \end{eqnarray}$ = ? da komm ich dann nicht weiter der Versuch mit Hadamard führt zu $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lim sup_{n \to \infty } \| \sqrt{n}^{\frac{1}{n} } \| } = \frac{1}{\lim sup_{n \to \infty } \|n^{\frac{1}{2n} } \| } \end{eqnarray}$
10.11.2011, 07:14	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen Verfolge mal deinen ersten Lösungsansatz fort, klammere die höchsten Potenzen aus und "kürze".
10.11.2011, 13:53	cupoftee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen Aha, also... $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+1} } \| = \lim_{n \to \infty } \| \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n} ) } } \| = \lim_{n \to \infty } \| \frac{1 }{(1+\frac{1}{\sqrt{n}) } } \| \end{eqnarray}$ kann ich dann hier bereits folgern dass der Grenzwert $\begin{eqnarray} =\frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray}$ und somit R=1 oder fehlt da noch was?
10.11.2011, 14:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen Es fehlt die richtige Rechnung: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+1} } \| = \lim_{n \to \infty } \| \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} } \| = \lim_{n \to \infty } \| \frac{1 }{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}} } } \| \end{eqnarray}$
10.11.2011, 15:00	cupoftee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen Nun ja, es fehlt tatsächlich die Wurzel unter dem Bruchstrich, die auf meiner Papierrechnung vorhanden ist und bei der Konstruktion der Formel mit latex irgendwie verloren ging. Wäre das dann so richtig? $\begin{eqnarray} = \lim_{n \to \infty } \| \frac{1 }{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}} } } \| =\frac{1}{1}=1 =:R \end{eqnarray}$
10.11.2011, 15:02	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen Ja.
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