Charakteristik |
| 10.11.2011, 11:35 | Oskar90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Charakteristik Tag liebe Mathematiker! Ich habe mich jetzt durch die ersten paar Wochen des Mathestudiums gekämpft und mehr oder weniger erfolgreich alle Übungszettel geschafft. Doch jetzt geht es los: Sei K ein Körper mit charK = p. Zeigen Sie, dass die Menge {0, 1, 1 + 1,...,1 + 1 +{· · · + 1} Teilmenge von K ein Körper ist. Meine Ideen: Ich habe keine Idee wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, denn wenn K ein Körper sein soll, müsste es ja u.a. Inverse Elemente geben. Ich kann mir aber nicht vorstellen welches Element z.B zu 1+1 die Inverse sein soll, wo doch alle Zahlen >0 sind in der Menge. Danke schonmal für eure Tipps! Gruß Oskar |
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| 10.11.2011, 16:05 | YogSothoth | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Charakteristik Moin, was bedeutet denn genau char K=p? Wenn du dir die Definition davon ansiehst kann man recht schnell die Inverse erkennen. Desweiteren kann man in einem beliebigen Körper K nicht unbeding sagen, dass ein Element größer als 0 ist, dies hängt von dem Körper ab. Du solltest dich daher davon lösen die Elemente von K als Zahlen aufzufassen, sondern lediglich als irgendwelche Elemente sehen, die nicht zwingend Zahlen seien müssen. |
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| 11.11.2011, 11:35 | Oskar90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mir jetzt mal eine Tabelle gezeichnet, in der P viele Zeilen und Spalten sind. Dabei habe ich P=2,3,5,7 gewählt und gesehen, dass dies Körper sind. Wenn ich dasselbe mit nicht Primzahlen, also zB 4,6,8 gemacht habe, dann habe ich gesehen dass bei 4 z.B die Komposition 2*3 das selbe ist wie 1*2. Das bedeutet ja, dass diese Menge kein Körper ist. Aber wie Beweise ich das denn nun ? Es kam schon häufiger vor, dass auf meinem Übungszettel stand: Beispiele sind keine Beweise! |
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| 11.11.2011, 11:57 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast eine wichtige Frage von YogSothoth nicht beantwortet: Wie habt ihr char(K) definiert? Und mir ist auch das:
nicht ganz klar. Die letzte Zahl steht für (p-1)-malige Addition? Können die Elemente der Teilmenge gleich sein? |
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| 11.11.2011, 12:16 | Oskar90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh natürlich.. die letzte Einser Addition ist genau (P-1)*1,also wenn p=5, dann 1+1+1+1. Naja die Definition von Char K habe ich ja gerade nicht richtig verstanden. Ich weiß nur dass Char K entweder 0 oder eine Primzahl ist und das Char wohl etwas mit dem Mod zu tun hat... |
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| 11.11.2011, 12:21 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wichtig ist aber, dass du postest wie ihr die charK im Skript definiert habt. Da gibt es viele zwar gleichwertige Definitionen aber es ist wichtig dass man/wir/ich/Du weiß(t) wovon auszugehen ist. Wie siehts mit meinem EInwand: Können die Elemente der Teilmenge gleich sein? aus? Oder auch hier anders gefragt: Was ist die exakte Aufgabenstellung? (als Hintergrund: diese Zahlen sind in jedem Körper enthalten, nur sind sie nicht immer verschieden.) |
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| 11.11.2011, 12:34 | Oskar90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben Char K so definiert: "Sei K ein Körper, hat 1 in der additiven Gruppe (K,+) eine endliche Ordung, so setze Char K= Ord(1) (Charakteristik von K) Ansonsten Char K=0." Die exakte Aufgabenstellung ist: "Sei K ein Körper mit charK = p. Zeigen Sie, dass die Menge {0, 1, 1 + 1,...,1 + 1 +{(p-1)*1+· · · + 1} c K ein Körper ist." Zu deinem Einwand: Ja die Elemente können gleich sein, nämlich genau dann wen p keine Primzahl ist. Bei z.B. p=4 ist nämlich 2*3=1*2= 2 |
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| 11.11.2011, 12:44 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also: die Ordnung eines elements x in (K,+) ist definiert als kleinste natürliche Zahl(ohne Null) n mit nx=0. Also ist die Char K=p falls (p-malige Addition) aber . Die Additivien Inversen kann man damit recht gut sehen, die multiplikatuven Inversen hingegen nur sehr schlecht. Sinnvoll ist es hier auszunutzen das K ein Körper ist. Die Inversen z.B. existieren alle in K und es ist z.z. dass sie in der gewünschten Menge liegen. |
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| 12.11.2011, 12:08 | Oskar90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok ich habe jetzt folgendes gemacht: ich habe überlegt an welchem Schritt es scheitern kann, falls P keine Primzahl ist. Da bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass es an der Multiplikativen Inverse liegt. Ich habe also bewiesen, dass es für alle x Element P (wenn P prim) eine multiplikative Inverse gibt, aber für alle x Element P(wenn P nicht Prim) es keine Inverse gibt. Reicht das schon als Lösung für die Aufgabe ? Gruß |
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| 12.11.2011, 12:25 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Damit hast Du höchsten n nicht prim kein Körper bewiesen. Das hat mit der zu beweisende Aussage nur peripher zu tun. Bechte den Unterschied zwischen und . (Du wolltest wohl auf Kontrapostion raus?) |
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| 12.11.2011, 14:17 | Oskar90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja ich habe ja dann auch bewiesen, dass wenn p eine Primzahl ist, es Inversen gibt. Das war doch zu zeigen oder nicht ? Neutrale Elemente gibt es ja immmer, die 1. |
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| 12.11.2011, 17:19 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn Du gezeigt hast dass die Inversen in der Menge sind, dann ja. |
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| 12.11.2011, 17:55 | Oskar90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also brauch ich nur zeigen, dass die Inversen in der Menge sind? Oder auch noch alle anderen Körperaxiome ? |
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