Normalverteilung, Standardabweichung, Mittelwert

10.11.2011, 14:37	Brittchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung, Standardabweichung, Mittelwert Meine Frage: Hallo, ich habe eine normalverteilte Größe, Mittelwert und Standardabweichung sind bekannt. Ich suche den Mittelwert und die Standardabweichung für den jeweils kleinsten Wert aus n Werten dieser Größe. Wie verhält es sich mit einer lognormalverteilten Größe bei gleicher Aufgabenstellung, wird die Lösung hier wesentlich komplizierter? Kann mir hier jemand helfen, evtl. auch durch Literaturhinweise? Vielen Dank, eine völlig überforderte Britta Meine Ideen: Ist der Mittelwert vielleicht das 1/n-Quantil der bekannten Größe?
10.11.2011, 15:50	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht nach einem ähnlichen Problem wie hier aus. Seien also die unabhängigen $\begin{eqnarray} X_1\ldots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ gegeben. Mit Standardisierungstransformation $\begin{eqnarray} Z_k:=\frac{X_k-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ hat man dann unabhängige $\begin{eqnarray} Z_1\ldots,Z_n \sim \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ vorliegen. Betrachten wir nun $\begin{eqnarray} X_n^:=\min(X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} Z_n^:=\min(Z_1,\ldots,Z_n) \end{eqnarray}$ , so besteht auch hier der Zusammenhang $\begin{eqnarray} Z_n^=\frac{X_n^-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} X_n^ = \mu + \sigma Z_n^* \end{eqnarray}$ , in der Folge dann $\begin{eqnarray} E(X_n^) &=& \mu + \sigma E(Z_n^) \\ \operatorname{var}(X_n^) &=& \sigma^2 \operatorname{var}(Z_n^) \end{eqnarray}$ , was bedeutet, dass man sich auf die Standardnormalverteilung konzentrieren kann! Bekannt ist (hoffentlich) die Berechnung der Verteilungsfunktion des Maximums gemäß $\begin{eqnarray} F_{Z_n^}(x) = 1-\prod\limits_{k=1}^n \left(1-F_{Z_k}(x)\right) = 1-(1-\Phi(x))^n \end{eqnarray}$ unter Benutzung der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung. Abgeleitet nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ erhält man die Dichte $\begin{eqnarray} f_{Z_n^}(x) = n(1-\Phi(x))^{n-1}\cdot \varphi(x) \end{eqnarray}$ nunmehr auch unter Einbeziehung der Dichte $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung. Es folgt für den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(Z_n^) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} xf_{Z_n^}(x) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} nx(1-\Phi(x))^{n-1}\cdot \varphi(x) ~ \dd x\qquad () \end{eqnarray}$ . Während die Berechnung für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ kein Problem darstellt, kommt für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ wahrscheinlich schon nur noch eine numerische Auswertung von (*) in Frage. Aber vielleicht sieht jemand doch eine andere, einfachere Möglichkeit? EDIT: Hab hier eine diesbezügliche Abhandlung gefunden: http://www.untruth.org/~josh/math/normal-min.pdf
10.11.2011, 16:44	Brittchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich kann leider nur bis zu dem Schluss folgen, dass die Betrachtung der Standardnormalverteilung genügt. Also, ich bin kein Mathematiker, und stehe vor folgendem Problem: Ich benötige die Zugfestigkeit (Mittel und Standardabweichung) einer Kette mit n Gliedern. Ich kenne zu den gleichen Gliedern die Zugfestigkeit (Mittel und Standardabweichung). Bei dem Link, auf den du verweist, geht es um Läufer mit jeweils unterschiedlich normalverteilten Bestzeiten, und um die Gewinnwahrscheinlichkeit eines bestimmten Läufers. Meine Kettenglieder sind aber alle gleich, und gesucht ist das schwächste Glied in der Kette, ich glaube da führt mich der Link nicht weiter, oder fehlt mir da auch das Verständnis? Ich würde mich über eine leicht verständliche Lösung hierzu sehr freuen! Gruß Britta
10.11.2011, 16:49	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann halte dich an Formel (): Das dort stehende Integral ist für jedes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ein nur von diesem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray*}$ abhängiger fester reeller Wert, den es eben numerisch auszurechnen gilt. Wenn du das nicht selbst bewerkstelligen kannst, dann such dir einen Fachmann, der das kann - es übersteigt aber ein wenig den Rahmen dieses Threads.
10.11.2011, 16:56	Brittchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, werde mich damit versuchen! Schönen Abend!

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