Induktion 2^n = ( n über k )

10.11.2011, 16:29

philippW

Induktion 2^n = ( n über k )

Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} 2^{n} = \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für n >= 0 per Induktion zu beweisen

Mein Ansatz :

Ich weiß, dass :

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k} y^{k} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 2^{n} = (1+1)^{n} \end{eqnarray*}$

Außerdem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$

daraus

IB

n=0

$\begin{eqnarray*} 2^{0} = 1 = \sum\limits_{k=0}^n \frac{0!}{0!*(0-0)!} \end{eqnarray*}$

IA

für alle m <= n , n€N , ist A(m) wahr

IS
n-> n+1

Tja und jetzt weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter, setze ich nur

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2^{n} * 2 \end{eqnarray*}$

Dann multipliziere ich den Binominalkoeffizienten nur mal 2 und komme nicht sehr weit.

Setze ich dafür (a+b)^n ein ? Ersetze ich den Binominalkoeffizienten ? Ich bräuchte nochmal ein Fingerzeig in die richtige Richtung bitte
Mfg

10.11.2011, 18:17

Iorek

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RE: Induktion 2^n = ( n über k )

Zitat:

Original von philippW
Ich weiß, dass :

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k} y^{k} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 2^{n} = (1+1)^{n} \end{eqnarray*}$

Wenn du das weißt, dann brauchst du überhaupt keine Induktion. Setze doch einmal $\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$ ein, dann stehts schon fast da. Augenzwinkern

10.11.2011, 20:03

philippW

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Gut es könnte aber auch ( 0 + 2 ) ^n sein, da war ich wohl etwas voreilig. Deswegen werde ich die Induktion als Beweis schon nutzen müssen.

10.11.2011, 20:07

Iorek

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Es könnte auch $\begin{eqnarray*} (5-3)^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (10000-9998)^n \end{eqnarray*}$ sein, aber mit $\begin{eqnarray*} (1+1)^n \end{eqnarray*}$ geht es einfacher. Und auch immer noch ohne Induktion.

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