Bild und Kern einer linearen Abbildung

10.11.2011, 16:57	anon777	Auf diesen Beitrag antworten »
Bild und Kern einer linearen Abbildung Meine Frage: gegeben sind 2 P und Q Matrizen aus C^3,3 P= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -8 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Q= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & -0,5 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die 1. Aufgabe ist es die Abbildungsvorschrift für die Komposition (P $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ Q^T):C^3 -> C^3 zu finden die 2. Aufgabe ist es den Kern und das Bild dieser Komposition zu bestimmen die 3. Aufgabe hat eigentlich weniger mit dem Thread an sich zu tun aber ich schreibe sie mal zur Vollständigkeit mit auf es seien L1 und L2 beliebige lineare Abbildungen von C^n -> C^n mit Bild(L1) $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ Kern(L2) gesucht ist die Abbildungsvorschrift der Kompsition L2 $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ L1 Meine Ideen: zu 1. P $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ Q^T ist ja nichts anderes als PQ^T * x mit x Element aus C^3 also muss ich ja nur P mit der transponierten Matrix von Q multiplizieren und habe so meine Abbildungsvorschrift x -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * x oder sollte sie zumindest sein. 2. für den Kern(P $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ Q^t) habe ich, dass der Kern nur aus dem Nullvektor besteht, allerdings frage ich mich ob es vielleicht nicht noch mehr Elemente im Kern gibt das Bild(P $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ Q^T) müsste der ganze C^3 sein 3. bei dieser aufgabe habe ich die vermutung, dass die Vorschrift so aussieht, dass etwas auf den Nullvektor abgebildet wird (L2 $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ L1) bedeutet doch L2 (Bild(L1)) wenn ich mich nicht irre und da das Bild(L1) im Kern(L2) liegt, wird doch alles auf den Nullvektor abgebildet allerdings habe ich keine Ahnung wie ich das als Vorschrift aufschreiben soll vielen dank schon mal für hoffentlich hilfreiche tips

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