Rechnung mit komplexen Zahlen

10.11.2011, 18:08	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnung mit komplexen Zahlen Hallöchen ihr Lieben, wir haben heute die komplexen Zahlen in LinA eingeführt und sollen nun damit rechnen. Ich kenn die schon aus Ana, komme aber mit folgender Rechnung nicht zurecht: $\begin{eqnarray} \left(\frac{1-i}{1+i} \right)^{n} \end{eqnarray}$ Ich soll dies berechnen in Abhängigkeit von n. Meine Idee: Naja, ich muss auf jeden Fall eine Fallunterscheidung machen. Wenn n=2, dann ist die Lösung -1. Wenn n=4 ist sie 1. Für n=6 wieder -1 und für n=8 ist sie wieder 1. Also: 1. Fall: Wenn $\begin{eqnarray} \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ , dann Lösung: -1 2. Fall Wenn $\begin{eqnarray} \frac{n}{4} \end{eqnarray}$ , dann Lösung: 1 Aber es gibt ja auch noch die Fälle für n ungerade... Und da hab ich leider keine Idee. Denn wenn der Exponent ungerade ist, dann bleibt ja auf jeden Fall ein i in der Lösung stehen... Allerdings bekomm ich aus dem Bruch auch schon keine komplexe Zahl hin... Habe mal versucht, für n=1 das zu berechnen, aber ich bekomm da nicht die schreibweise a+bi hin... Bin für jeden Tip dankbar
10.11.2011, 18:10	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfache zuerst $\begin{eqnarray} \frac{1-i}{1+i} \end{eqnarray}$ (binomische Formel). MfG
10.11.2011, 18:24	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja okay, da hätte ich ja auch mal drüber nachdenken können... Ich erweitere den Bruch mit (1-i), dann steh da: $\begin{eqnarray} \frac{(1-i)^{2} }{(1-i)(1+i)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1-2i+i^{2}}{1-i^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{2i}{2} \end{eqnarray}$ Das wäre dann die Lösung für n=1 und n=5, n=9 usw. Und für n=3, n=7, n=11 usw. müsste es ja dann $\begin{eqnarray} -\frac{2i}{2} \end{eqnarray}$ sein, oder? Also 3. Fall für 1+4n (so??) Und 4. Fall für 3+4n Kann ich die Fälle so definieren? Ich wüsste nicht, wie sonst...
10.11.2011, 19:01	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast da einen Vorzeichenfehler (und $\begin{eqnarray} \frac{2}{2} \end{eqnarray}$ kann man kürzen). MfG
10.11.2011, 20:21	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht... Danke Also hab ich -i für n=1, 5 usw. Und i für n=3, 7 usw Aber darf ich das denn mit dem n so schreiben wie oben? Oder gibt es eine bessere Schreibweise, um das darzustellen? LG
10.11.2011, 20:41	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (-i)^n = \begin{cases} -i & n = 4m + 1\\ ? & n = 4m+2\\ ? & n = 4m+3\\ ? & n = 4m \end{cases} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} m \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ . MfG
Anzeige

10.11.2011, 20:54	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, alles klar!!!! Vielen Dank!!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »