Grenzwert einer Reihe

10.11.2011, 19:53

dreikommadrei

Grenzwert einer Reihe

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$
Hinweis:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n q^k \end{eqnarray*}$

Vorweg: in einer Aufgabe vorher haben wir gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^ {n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Nach unserer Definition muss für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N _0 \end{eqnarray*}$ gelten:
$\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{k=0}^n q^k - \frac{1}{1-q}| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Das ist Laut der vorherigen Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} |\frac{1-q^ {n+1}}{1-q} - \frac{1}{1-q}|=|\frac{-q^ {n+1}}{1-q}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{-q^ {n+1}}{1-q})^2=\frac{(-q^{n+1})^2}{(1-q)^2}=\frac{q^{2n+2}}{1-2q+q^2} < \epsilon^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^{2n+2} < \epsilon^2*(1-2q+q^2)=\epsilon^2-2\epsilon^2q+\epsilon^2q^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2n+2 < \log_q(\epsilon^2-2\epsilon^2q+\epsilon^2q^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n < \frac{ log_q(\epsilon^2-2\epsilon^2q+\epsilon^2q^2)-2}{2} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie kommen mir die Zahlen ein wenig... ähm... Merkwürdig vor.

kann ich denn die rechte Seite auch anders darstellen?

10.11.2011, 19:56

Iorek

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Ihr hattet doch bestimmt die Grenzwertsätze für Folgen, oder? Wende die doch einmal auf $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} = \frac {1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ an und bedenke, dass $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ gilt.

10.11.2011, 20:01

dreikommadrei

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Zitat:

Original von Iorek
Ihr hattet doch bestimmt die Grenzwertsätze für Folgen, oder?

zumindest nicht so benannt verwirrt

aber ok, da q <|1| und n eine ganze positive Zahl ist, ist der Bruch immer positiv

10.11.2011, 20:05

Iorek

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Könntest du denn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ berechnen?

Die Grenzwertsätze sollten aber eigentlich bekannt sein, wenn du dich mit Reihen beschäftigst.

10.11.2011, 20:16

dreikommadrei

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OK! ich glaub ich weiß worauf du hinaus willst!
1) Es gibt einen eindeutigen Grenzwert.
Wenn ich den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ bestimme wäre ich ja schon fertig...

da |q|<1 ist, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } q^{n+1} =0 \end{eqnarray*}$ und damit ja auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

10.11.2011, 20:17

Iorek

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Und fertig. smile

10.11.2011, 20:18

dreikommadrei

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pünktlich vorm zur arbeit gehen smile

und ich schreib da soviel zeugs...

Gott

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