Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

10.11.2011, 19:56

Bart2055

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Hallo liebes Forum,

ich hänge an einer alten Mathe Klausur für Wirtschaftswissenschaftler und da ist eine Aufgabe zu Differentialgleichungen.

Ich soll die allgemeine Lösung folgender Differntialgleichung bestimmen : $\begin{eqnarray*} y'\sqrt{x^{3}*y}=y^2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß dass es sich um eine Gleichung erster Ordnung handelt da y´ die höchste Ableitung ist.
Zur Lösung komme ich irgendwie überhaupt nicht unglücklich

Vielen Dank im Vorraus!

Mfg Felix

10.11.2011, 22:28

Abakus

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RE: Allgemeine Lösung der Differentialgleichung
Hallo,

kannst du die Variablen trennen?

Abakus smile

10.11.2011, 23:01

Bart2055

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Ja das wäre ja bei dieser Aufgabe dann :

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y²}{\sqrt{x³y} } \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{y²}{\sqrt{x³y} } \\ \\ dx\sqrt{x³}=dyy²\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

Der nächste Schritt wäre dies dann zu integrieren oder ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \sqrt[4]{x^{3}}=\sqrt{y^{7}}+C \end{eqnarray*}$

Dann hätten wir die Variablen getrennt... Ich glaube in der Übung wurde dann nach y aufgelöst ? Aber ist dies dann schon die allgemeine Lösung der Gleichung ?

Grüße und danke schon mal für den hoffentlich richtig interpretierten Wegweiser !

10.11.2011, 23:04

Abakus

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Deine dritte Zeile bitte nochmal überdenken, das Wurzel aus y steht besser im Nenner?

Abakus smile

10.11.2011, 23:16

Bart2055

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$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y²}{\sqrt{x³y} } \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{y²}{\sqrt{x³y} } \\ \\ dx \sqrt{x³}=dy\sqrt[3]{y^{2}} \end{eqnarray*}$

Der nächste Schritt wäre dies dann zu integrieren oder ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \sqrt[4]{x^{3}}= \frac{3}{2} \sqrt{y^{5}}+C \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 09:27

Ehos

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Die linke Seite deiner 2.Zeile muss lauten $\begin{eqnarray*} \tfrac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \tfrac{dx}{dy} \end{eqnarray*}$ . Die rechte Seite würde ich ohne Wurzeln und Brüche einfacher schreiben als $\begin{eqnarray*} \tfrac{y^2}{\sqrt{x^3y}}=y^{1,5}x^{-1,5} \end{eqnarray*}$ . Nun kann man die Variablen schön trennen und anschließend integrieren.

11.11.2011, 15:32

Bart2055

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$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y²}{\sqrt{x³y} } \\ \\ \frac{dy}{dx} = y^{1,5}x^{-1,5} \\ \\ dy (y^{-1,5})=dx(x^{-1,5} ) \end{eqnarray*}$

Dann integriert bekommt man :

$\begin{eqnarray*} -1,5y^{-\frac{1}{2}} = -1,5x^{-\frac{1}{2}} \\ \\ \frac{-1,5}{\sqrt{y} } = \frac{-1,5}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

Ist das die allgemeine Lösung der Differentialgleichung?

11.11.2011, 20:28

Abakus

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Zitat:

Original von Bart2055
Ist das die allgemeine Lösung der Differentialgleichung?

Nein, was ist mit der Integrationskonstante? Und welche Lösung kommt jetzt raus und was ist der Definitionsbereich dieser?

Abakus smile

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