Transitivität (von Neumann)

10.11.2011, 20:12

Gast11022013

Transitivität (von Neumann)

Meine Frage:
Vorab eine Definition:

Eine Menge M heiße transitiv, wenn für alle x,y gilt:

$\begin{eqnarray*} x\in y\in M\Rightarrow x\in M \end{eqnarray*}$ .

Und nun die eigentliche Aufgabe:

Man zeige:

Die natürlichen Zahlen nach von Neumann

$\begin{eqnarray*} 0=\emptyset, 1=\left\{\emptyset\right\}, 2=\left\{0,1\right\}=1\cup\left\{1\right\},...,n+1:=n^{+}:=n\cup\left\{n\right\},... \end{eqnarray*}$

sind transitive Mengen.

Hinweis:

Man setze die Gültigkeit der so genannten Peano-Axiome voraus.

Meine Ideen:
Meine Beweisidee ist es, per vollständiger Induktion zu zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} [n\in n^{+}\in \left(n^{+}\right)^{+}]\Rightarrow [n\in \left(n^{+}\right)^{+}] \end{eqnarray*}$

gilt.

Erstmal würde mich nur interessieren, ob man den Beweis so führen kann.

10.11.2011, 22:34

Abakus

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RE: Transitivität (von Neumann)

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine Ideen:
Meine Beweisidee ist es, per vollständiger Induktion zu zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} [n\in n^{+}\in \left(n^{+}\right)^{+}]\Rightarrow [n\in \left(n^{+}\right)^{+}] \end{eqnarray*}$

gilt.

Hallo,

Induktion ist sicher die richtige Idee, aber überlege mal, wie du sie genau ansetzen kannst (IA, IB, IS).

Abakus smile

10.11.2011, 22:40

Gast11022013

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RE: Transitivität (von Neumann)
Was hat es damit auf sich, daß man die Peano-Axiome als gültig voraussetzen soll? Ist das die Rechtfertigung, um per vollständiger Induktion zu beweisen oder muss ich da noch irgendwas beweisen, einbauen oder sonstwie bedenken?

Zur Induktion:

Ich würde beim Induktionsanfang mit n=0 beginnen.
Wäre das okay?

10.11.2011, 22:47

Abakus

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RE: Transitivität (von Neumann)
Ja, vermutlich sollen die Axiome die Rechtfertigung für das Funktionieren einer Induktion sein. Schreib sie einfach mal hin, dann weißt du mehr. Ja, der IA ist bei 0.

Abakus smile

10.11.2011, 22:56

Gast11022013

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RE: Transitivität (von Neumann)
Induktionsanfang

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0=\emptyset\in 1=\left\{\emptyset\right\}\in 2=\left\{\emptyset,\left\{\emptyset\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ und hier sieht man, daß $\begin{eqnarray*} 0=\emptyset\in 2 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung

Es gelte die Behauptung für n.

Induktionsschritt

Zeige, daß die Behauptung auch für n+1 gilt.

Also zeigen muss ich, daß

$\begin{eqnarray*} n+1\in n+2\in n+3\Rightarrow n+1\in n+3 \end{eqnarray*}$

Doch ich weiß nun nicht, wie ich die Induktionsvoraussetzung ausnutzen bzw. einbauen kann...

$\begin{eqnarray*} n+1=... \end{eqnarray*}$ ?

10.11.2011, 23:10

Abakus

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RE: Transitivität (von Neumann)
Das dachte ich dann doch anders, meine Idee:

du zeigst, 0 ist transitiv und dann:

die Behauptung sei für (alle) Mengen M richtig bis $\begin{eqnarray*} M = n \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist die Behauptung dann für noch für $\begin{eqnarray*} M = n^+ \end{eqnarray*}$ .

Abakus smile

10.11.2011, 23:16

Gast11022013

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RE: Transitivität (von Neumann)
Das macht natürlich viel mehr Sinn.

Wie soll man jedoch bei dem Induktionsanfang zeigen, daß $\begin{eqnarray*} 0=\emptyset \end{eqnarray*}$ transitiv ist? In der leeren Menge sind ja keine x,y für die im Sinne der obigen Definition man zeigen könnte

$\begin{eqnarray*} x\in y\in\emptyset\Rightarrow x\in\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Edit:

Oder ist das so, da ja die leere Menge nur sich selbst enthält, daß notwendigerweise $\begin{eqnarray*} x=\emptyset=y \end{eqnarray*}$ gelten muss und damit die Transitivität trivial ist?

11.11.2011, 12:32

Gast11022013

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RE: Transitivität (von Neumann)
Also, ich habe mich mal weiter daran versucht:

Induktionsanfang ist (wie im letzten Beitrag) mit n=0.

Seien x und y Menge mit $\begin{eqnarray*} x\in y\in 0=\emptyset \end{eqnarray*}$ . Dann können x und y nur ihrerseits die leere Menge sein und die Transitivität gilt trivialerweise.

Induktionsvoraussetzung: Die Transitivität gelte für n.

Induktionsschritt:

Seien x, y Mengen mit $\begin{eqnarray*} x\in y\in n^{+}=n\cup\left\{n\right\} \end{eqnarray*}$ .

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x\in y\in n \end{eqnarray*}$

Dann folgt aufgrund der Induktionsvoraussetzung sofort, daß $\begin{eqnarray*} x\in n \end{eqnarray*}$ .

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x\in y\in\left\{n\right\} \end{eqnarray*}$

Da nach Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} x\in n \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} x\in\left\{n\right\} \end{eqnarray*}$ .

Beweisende

Ist das so korrekt?

11.11.2011, 19:27

Abakus

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RE: Transitivität (von Neumann)

Zitat:

Original von Dennis2010
Induktionsanfang ist (wie im letzten Beitrag) mit n=0.

Seien x und y Menge mit $\begin{eqnarray*} x\in y\in 0=\emptyset \end{eqnarray*}$ . Dann können x und y nur ihrerseits die leere Menge sein und die Transitivität gilt trivialerweise.

Naja, die leere Menge hat keine Elemente; von daher gibt es nichts zu überprüfen und der IA stimmt bei 0.

In solchen Fällen ist jedoch noch genau zu schauen, ob vielleicht noch weitere Elemente (1 usw.) in den I.A. aufgenommen werden müssen.

Zitat:

Induktionsvoraussetzung: Die Transitivität gelte für n.

Induktionsschritt:

Seien x, y Mengen mit $\begin{eqnarray*} x\in y\in n^{+}=n\cup\left\{n\right\} \end{eqnarray*}$ .

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x\in y\in n \end{eqnarray*}$

Dann folgt aufgrund der Induktionsvoraussetzung sofort, daß $\begin{eqnarray*} x\in n \end{eqnarray*}$ .

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x\in y\in\left\{n\right\} \end{eqnarray*}$

Da nach Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} x\in n \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch [l]x\in\left\{n\right\}[/latex]

Fall 2 würde ich noch genauer hinschreiben, es muss y=n sein usw.

Ansonsten muss das auch für n=0 funktionieren, wenn nur dort der I.A. ist: das sehe ich hier nicht ganz (das ist sicher diskussionswürdig, wie es sich hier genau verhält). Ich würde die 1 und sogar die 2 noch in den I.A. aufnehmen.

Abakus smile

11.11.2011, 20:45

Gast11022013

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Hallo, was meinst Du mit "in den Induktionsanfang aufnehmen"?

11.11.2011, 22:23

Abakus

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Zitat:

Original von Dennis2010
Hallo, was meinst Du mit "in den Induktionsanfang aufnehmen"?

Du machst im IA den Check für n=0, 1, 2 (schaden kann es nicht). Ansonsten müsstest du erklären können, wie von 0 auf 1 und 1 auf 2 geschlossen wird im IS.

Abakus smile

11.11.2011, 23:14

Gast11022013

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Also ich habe jetzt alles mal in einem LaTeX-Dokument aufgeschrieben, im Grunde keine neuen Ideen, aber alles ein bisschen korrigiert.

Wäre es okay, wenn ich das mal zuschicke (ich möchte es ungerne hier alles posten, weil ich das abgeben muss und ich nicht gerne möchte, daß das dann 1:1 im Internet zu finden ist)?

edit(Abakus): siehe PN

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