Beweis einer Ungleichung

Neue Frage »

10.11.2011, 21:30	DJ Ango	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Ungleichung Guten Abend zusammen, ich sitze an folgender Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} a_{1}, ... , a_{n} > 0 \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^n a_{k}\right) \left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_{k}}\right) \geq n^{2} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Beweis durch vollständige Induktion Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^1 a_{k}\right) \left(\sum\limits_{k=1}^1 \frac{1}{a_{k}}\right) \geq n^{2}<=>a_{1} \frac{1}{a_{1}} \geq 1^{2}<=>1 \geq 1 \end{eqnarray}$ Damit ist der Induktionsanfang wahr. Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} n -> n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k}\right) \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{a_{k}}\right) \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ Auf der rechten Seite habe ich ja eine binomische Formel, das ist vielleicht ja garnicht schlecht, aber auf der linken Seite komme ich nicht weiter. Oder ist mein ganzer Ansatz falsch? Gruß
10.11.2011, 22:30	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das ist schon ganz richtig. Was aknnst du den zumindestens links in den Klammern mit den Summen machen?
11.11.2011, 00:18	DJ Ango	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich die Summenzeichen eventuell so umschreiben $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k}\right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} {\frac{1}{a_{k}} }\right) = \left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}\right)+a_{n}\right) \left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}} \right)+\frac{1}{a_{n}}\right) \end{eqnarray}$ ?
11.11.2011, 00:31	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Betrachten wir mal die Reihe in der linken Klammer. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + + a_{n-1} + a_n \end{eqnarray}$ Was ist hier das letzte Glied der Summe? Also das n+1-te ? Dann schreibst du wie du es getahen hast die Reihe bis n auf und lässt halt nur noch den letzten raus. In der rechten Klammer auch.
11.11.2011, 01:05	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne euch unterbrechen zu wollen: Siehe auch hier.
11.11.2011, 01:28	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade das ich da oben sogar einen fataaaalen Fehler gemacht habe oh man oh man O_O In der Summe welche ich schrieb fehlt ja eben noch das letzte Glied. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + a_{n+1} \end{eqnarray}$ So lautet es richtig. Sry für den dummen Fehler von mir, jetzt müsste es aber klappen. ^^
Anzeige

11.11.2011, 09:36	Fritz123	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k}\right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} {\frac{1}{a_{k}} }\right) = \left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}\right)+n+1\right) \left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}} \right)+\frac{1}{n+1}\right) \end{eqnarray}$ so?
11.11.2011, 09:54	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Der letzte Summand heißt weder n+1 noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ . Guck nochmal genau hin.
11.11.2011, 17:03	Fritz123	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k}\right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} {\frac{1}{a_{k}} }\right) = \left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}\right)+a_{n+1} \right) \left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}} \right)+\frac{1}{a_{n+1} }\right) \end{eqnarray}$ ]
11.11.2011, 17:22	Aris-tot-ele´s	Auf diesen Beitrag antworten »
So stimmt sie, und nun kannst du auch weiter machen. Arbeite dich am besten, von einer Seite zu der anderen. mfg. Aristoteles :-D
12.11.2011, 15:11	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Ungleichung Nun ich habe dies ausgeklammert und komme nun mit einem teil der Abschätzung nicht klar: $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k}\right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{a_{k}} \right) = (a_{n+1}+\left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}\right)) (\frac{1}{a_{n+1}}+\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}} \right))= \left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}\right) \left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}} \right)+ \left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\frac{1}{a_{n+1}} \right)+\left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{n+1}\frac{1}{a_{k}} \right)+\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}\geq n^2+2n+1 \end{eqnarray}$ Nun wie schätze ich jetzt folgendes ab: $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\frac{1}{a_{n+1}} \right)+\left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{n+1}\frac{1}{a_{k}} \right)\geq 2n \end{eqnarray}$
12.11.2011, 15:29	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch mal folgendes zu beweisen und überleg, ob sich das nicht auf deine Situation übertragen lässt.: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \end{eqnarray}$
12.11.2011, 15:35	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Ungleichung danke
14.11.2011, 11:58	eselrget	Auf diesen Beitrag antworten »
der hinweis a/b + b/a > 2 hilft mir irgendwie noch nicht weiter... Kannst mir jemand vielleicht noch einen Denkanstoß geben?
14.11.2011, 13:57	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer Ungleichung Es ist $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}\right) \left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}} \right) + \left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\frac{1}{a_{n+1}} \right) + \left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{n+1}\frac{1}{a_{k}} \right)+\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}} = \left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}\right) \left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}} \right) + \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{a_k}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+1}}{a_k} ) + 1 \end{eqnarray}$ Auf $\begin{eqnarray} \frac{a_k}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+1}}{a_k} \end{eqnarray}$ kannst du die besagte Ungleichung anwenden.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis einer Ungleichung

Verwandte Themen