Supremum,Infimum,Maximum,Minimum

10.11.2011, 23:40

Pfirsichtee

Supremum,Infimum,Maximum,Minimum

Nabend, es geht mir um folgende Aufgabe :

Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Minimum und Maximum der folgenden Mengen, sofern sie existieren.

(a) $\begin{eqnarray*} A := { (-1)^n \frac{n+1}{n} : n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} B := \frac{x}{x+1} : x \in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$

Fangen wir also mal mit (a) an :

Vermutungen :

sup A = max A = 1,5
inf A = min A = -2

Offensichtlich gehören 1,5 ( n=2) und -2 (n=1) zur Menge A. Demnach ist noch zu zeigen, dass sie wirklich die kleinste obere bzw. die größte untere Schranke sind.

inf A = min A = -2

Da der Term (n+1)/n für positive n monoton fallend ist, ist mit n=1 der größte Wert des Terms (n+1)/n erreicht und gleich 2. Da dieser wegen (-1)^1 = -1 negativ ist, haben wir also bereits unsere größte untere Schranke erreicht, da es kein x aus A gibt mit x > 2.

sup A = max A = 1,5

Auch hier betrachten wr wieder die Monotonie des Terms (n+1)/n. Mit n=1 ist der größtmögliche Wert erreicht worden, da dieser aber wegen dem Produkt mit -1 negativ ist, betrachten wir als nächstes n=2, denn dies ist der zweitgrößte Wert für (n+1)/n. Dieser lautet 1,5 und ist mit (-1)^2 sogar positiv. Da es bis auf 2 keinen Term gibt, welcher größer sein kann als 1,5 ist dies auch schon unser Supremum und Maximum.

Ist diese Argumentation so ok?

11.11.2011, 20:51

Pfirsichtee

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Push Push ^^

11.11.2011, 23:38

Pfirsichtee

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Nun gut mache ich einfach mal mit (b) weiter. Als Vermutungen habe ich, dass das Infimum 0 ist und das Supremum 1. Allerdings sind diese beiden nicht in der Menge enthalten und somit wären sie kein Maximum bzw. Minimum.

Zum Supremum :

Ich behaupte also, dass das Supremum 1 ist. Also muss gelten :

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists a \in \mathbb R_+ : 1 - \epsilon < a \end{eqnarray*}$

Es muss also gelten :

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\epsilon }{1 - \epsilon +1} < \frac{a}{a+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das umforme, komme ich am Ende zu $\begin{eqnarray*} \epsilon > 1 - a \end{eqnarray*}$

Wähle ich also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 - \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ , so muss gelten :

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - \epsilon }{1 - \epsilon +1} < \frac{a}{a+1} <==> \frac{1 - 1 + \frac{a}{2} }{1 - 1 + \frac{a}{2} + 1 } < \frac{a}{a+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+1) \cdot \frac{a}{2} < a \cdot ( \frac{a}{2} + 1 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} < \frac{a^2}{2} + a <==> \frac{a}{2} < a \end{eqnarray*}$

Ist das Ganze so ok?

Grüße : der gut schmeckende Pfirsichtee Wink

14.11.2011, 00:04

Zitronentee

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Pfirsichtee, so sieht man sich wieder smile

Ich muss sagen, dein Beweis sieht sehr interessant und schlüssig aus.
Und rein theoretisch ist an dem Beweis nichts auszusetzen.

Allerdings bin ich am zweifeln, ob der Beweis für diese Situation angemessen ist.

Ich gehe alles einfach mal strukturiert durch,

Zum Supremum :

Zitat:

Ich behaupte also, dass das Supremum 1 ist. Also muss gelten :

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists a \in \mathbb R_+ : 1 - \epsilon < a \end{eqnarray*}$

Da fängt es schon an, was willst du den genau zeigen ?

Zitat:

Es muss also gelten :

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\epsilon }{1 - \epsilon +1} < \frac{a}{a+1} \end{eqnarray*}$

Nur korrekt, wenn das erste korrekt ist.
Da du bereits den Anfang falsch gemacht hast, sind die weitern schritte natürlich auch falsch.

Zitat:

Wenn ich das umforme, komme ich am Ende zu $\begin{eqnarray*} \epsilon > 1 - a \end{eqnarray*}$

Willst du das den überhaupt ? Wenn ja warum ?

Zitat:

Wähle ich also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 - \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ , so muss gelten :

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - \epsilon }{1 - \epsilon +1} < \frac{a}{a+1} <==> \frac{1 - 1 + \frac{a}{2} }{1 - 1 + \frac{a}{2} + 1 } < \frac{a}{a+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+1) \cdot \frac{a}{2} < a \cdot ( \frac{a}{2} + 1 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} < \frac{a^2}{2} + a <==> \frac{a}{2} < a \end{eqnarray*}$

Ist das Ganze so ok?

Ja, die umformungen sind korrekt.

Ich will mich erstmal abgrenzen, ich finde deinen Beweis eigentlich ganz interessant, und ich kann dir auch mit sicherheit nicht sagen, ob er legitim ist oder nicht.
Sprich du wirst auch jetz keine Antwort zur Richtigkeit deiner Aufgaben bekommen.
Sorry erstmal dafür, aber das vermag ich als studienanfänger nicht zu beurteilen Lehrer

Ich möchte aber zwei Punkte kretisieren:

1) Du machst die Schranke viel kleiner als du es in wirklichkeit machen willst, dann ist das ganze natürlich kein richtiger beweis mehr für ein Supremum.

Was ist nämlich die Definition des Supremums ?

2)Du gibst dir ein Epsilon vor, aber genau das wollen wir nicht. Es reicht (achtung übertriebenes Beispiel) nicht zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 2000 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, dass die schranke dann so klein ist, dass man dann ein Element findet.

Verstehst du worauf ich hinaus will ?

Wenn nein lass gut sein.

Wenn ja, wiederleg meine Annahmen, und sag mir, wieso das grade nicht auf deinen Beweis zutrifft. Immerhin hast du von Anfang an einen, falschen standpunkt (denke ich).

Trotz alledem denke ich, du solltest den Beweis abgeben um zu gucken ob der auch was taugt. Vielleicht raff ja nur ich den Beweis nicht, und er ist durchaus schlüssig.

Ich habe auf jedenfall einen anderen Beweis. Allerdings führen bekanntlich mehrere Wege nach Rom, und falls du deine Karte nicht falsch gezeichnet hast, wird er dich dort hinführen.
Ob der Weg nun umständlicher ist, oder nicht wird sich noch herausstellen.

Ich wünsche dir viel Glück, und bin gespannt wieviele Punkte du für diesen Beweis kassierst.

mfg. der noch viel besser schmeckende Zitronentee Teufel

Naja ich genehmige mir noch eien Zitronentee, und gehe dann schlafen.
Prost Prost

und aufwiedersehen Wink

PS: Benutze nächstesmal ein anständiges Epsilon, bei dem hier bekomme ich plack Big Laugh

27.11.2011, 01:15

Zitronentee

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Da du die Hausübung bereits zurück bekommen hast, würde es mich mal interessieren ob du Punkte für deine Lösung bekommen hast, auch wenn ich dies bezeifel Big Laugh

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Supremum,Infimum,Maximum,Minimum

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