Metrik auf X

11.11.2011, 00:37

madx

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Metrik auf X

Meine Frage:
Hallo smile

smile

Hänge leider bei einer Aufgabe fest, die Lautet:

$\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ = metrischer Raum.

betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} p:X\times X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$

zeige, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ metrik auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als erstes will ich die definitheit zeigen

$\begin{eqnarray*} p(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=\frac{\sqrt{(x-y)²}}{1+\sqrt{(x-y)²}} \end{eqnarray*}$

Sei
$\begin{eqnarray*} p(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{\sqrt{(x-y)²}}{1+\sqrt{(x-y)²}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{(x-y)²}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Nun muss ich natürlich noch Symmetrie und die Dreiecksungleichung machen.
Aber ist es denn so wie ich es gemacht habe richtig? Also speziell
$\begin{eqnarray*} d(x,y)= \sqrt{(x-y)²} \end{eqnarray*}$ so umzuschreiben?
Wenn ja wäre die Symmetrie ja genau so leicht.
Aber mit der Dreiecksungleichung habe ich noch gar keine Idee.

Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte.

Gruß

11.11.2011, 00:49

Math1986

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RE: Metrik auf X

Zitat:

Original von madx
Aber ist es denn so wie ich es gemacht habe richtig? Also speziell
$\begin{eqnarray*} d(x,y)= \sqrt{(x-y)²} \end{eqnarray*}$ so umzuschreiben?

Nein, das ist nicht korrekt.
d ist ja eine beliebige Metrik auf X.
Das musst du auch so allgemein beweisen

11.11.2011, 00:49

juffo-wup

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RE: Metrik auf X

Zitat:

Original von madx
Aber ist es denn so wie ich es gemacht habe richtig? Also speziell
$\begin{eqnarray*} d(x,y)= \sqrt{(x-y)²} \end{eqnarray*}$ so umzuschreiben?

Nein! d ist doch nur irgendeine Metrik. Insbesondere muss weder das Minuszeichen noch das Quadrat oder die Wurzel für Elemente aus X irgendeinen Sinn ergeben.

11.11.2011, 01:13

madx

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Wow so spät noch Antworten, Danke.

Ich wusste, dass ich diese Metrik-Thematik nicht richtig verstanden habe.

Also kann ich es hier dann so machen

$\begin{eqnarray*} p(x,y)=0\Rightarrow \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=0\Rightarrow |\frac{|x-y|}{1+|x-y|}|=0\Rightarrow\frac{|x-y|}{|1+|x-y||}=0\Rightarrow|x-y|=0\Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Gruß und Danke

11.11.2011, 03:27

juffo-wup

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Du hast noch nicht verstanden was ein metrischer Raum ist, bzw. was nicht. Ein metrischer Raum ist einfach nur eine Menge zusammen mit einer Abstandsfunktion d, die gewisse Eigenschaften hat. Sonst nichts. d(x,y) als |x-y| zu schreiben ergibt nur Sinn, wenn die Metrik d von einer Norm |.| kommt, was aber hier nicht vorausgesetzt ist.

11.11.2011, 06:10

madx

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Hallo

Da hast du recht, ich bin wirklich noch nicht sehr vertraut damit, aber dass muss ich nachholen. Nun weiß ich leider gar nicht mehr wie ich an die Aufgabe ran gehen sollte. Kann ich vielleicht einen Tipp bekommen?

Gruß

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11.11.2011, 10:32

Math1986

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Du musst d als eine beliebige Metrik betrachten und dabei ausnutzen, dass d die Axiome einer Metrik erfüllt.
Der Beweis muss allgemein gehalten sein.

11.11.2011, 12:06

madx

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Ok, ich versuche es nochmal.

$\begin{eqnarray*} \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=\frac{d(x',y')}{1+d(x',y')}\Rightarrow x=x' \wedge y=y' \end{eqnarray*}$

Irgendwie kommt mir das zu einfach vor unglücklich

unglücklich

Was meint ihr?

11.11.2011, 13:16

Math1986

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Ich weiß nicht ganz, was du da zu zeigen versuchst:

Bleiben wir erstmal bei der Definitheit:
Es ist doch, wie du richtigerweise gesagt hast:

$\begin{eqnarray*} p(x,y)=0\Rightarrow \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=0 \end{eqnarray*}$
Bis dahin war es ja richtig.
Dann gilt aber auch:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d(x,y)=0 \end{eqnarray*}$
(ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler Null ist)
Nun zeig damit mal die Definitheit.

11.11.2011, 19:42

madx

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Zitat:

Ich weiß nicht ganz, was du da zu zeigen versuchst:

Ja das wüsst ich auch gern smile

smile

Ich muss doch da jetzt eigentlich nicht mehr viel machen (glaub ich):

$\begin{eqnarray*} p(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=0\Rightarrow d(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ (Bruch=0 impliziert zähler=0)

$\begin{eqnarray*} d(x,y)=0\Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

So wäre es auf jeden Fall logisch für mich und sehr trivial.
Wenn das wirklich alles ist habe ich viel zu kompliziert gedacht.

Ich werde mich mal mit der Hoffnung, dass das richtig ist an die Symmetrie begeben.

11.11.2011, 19:46

Hansen38

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Ja, das ist gut.

Du hast ja gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} p(x,y) = 0 \implies x = y \end{eqnarray*}$
Also ist p definit, was notwendig dafür ist, dass p eine Metrik ist.
Jetzt noch die weiteren Axiome nachweisen!

11.11.2011, 20:41

madx

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Ich glaube ich fange jetzt erst an das ganze zu kapieren.

Symmetrie:

Da d eine Metrik ist, gilt: $\begin{eqnarray*} d(x,y)=d(y,x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=\frac{d(y,x)}{1+d(y,x)}=p(y,x) \end{eqnarray*}$

Also, wenn ich es richtig verstanden habe müsste das so stimmen.

Weiter zu Dreiecksungleichung

11.11.2011, 22:07

madx

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So,

mit der Dreiecksungleichung komm ich auch nicht so gut klar. Aber ich habe schon eine Idee.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(x,z)= \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}\leq........ \leq\frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)} =\frac{d(x,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}+\frac{d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}\leq \frac{d(x,z)}{1+d(x,y)}+\frac{d(y,z)}{1+d(y,z)} \end{eqnarray*}$

nur bei den Pünktchen würde die Ungleichung ja nicht unbedingt stimmen.
Ist es denn bis auf die Pünktchen richtig?

11.11.2011, 22:10

Hansen38

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Zitat:

Original von madx
Ich glaube ich fange jetzt erst an das ganze zu kapieren.

Symmetrie:

Da d eine Metrik ist, gilt: $\begin{eqnarray*} d(x,y)=d(y,x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=\frac{d(y,x)}{1+d(y,x)}=p(y,x) \end{eqnarray*}$

Also, wenn ich es richtig verstanden habe müsste das so stimmen.

Weiter zu Dreiecksungleichung

Also das ist schonmal sehr gut Freude

Freude

Ich finde auch, dass du es schon
sehr gut verstehst.
Was du machst ist, du "ziehst" die Eigenschaften von d hoch auf
p. Das geschieht in der Mathematik nicht selten smile

smile

Der Beweis der Dreiecksungleichung von p ist noch nicht ganz richtig.
du willst ja:

p(x,z) <= p(x,y)+p(y,z)

schreib jetzt am besten p(x,y) + p(y,z) aus
und versuch daraus mal herzuleiten, wie du abschätzen solltest

11.11.2011, 23:06

madx

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Zitat:

Original von Hansen38

Also das ist schonmal sehr gut Freude

Freude

Ich finde auch, dass du es schon
sehr gut verstehst.

Danke schön, das baut wirklich auf. Freude

Freude

Zitat:

Original von Hansen38

Der Beweis der Dreiecksungleichung von p ist noch nicht ganz richtig.
du willst ja:

p(x,z) <= p(x,y)+p(y,z)

schreib jetzt am besten p(x,y) + p(y,z) aus
und versuch daraus mal herzuleiten, wie du abschätzen solltest

Ok

Also:

$\begin{eqnarray*} p(x,y)+p(y,z) =\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}+\frac{d(y,z)}{1+d(y,z)} \geq \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)+d(y,z)}+\frac{d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}\ =\frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)} \end{eqnarray*}$

So hier bleibe ich nun hängen.

Ich muss irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}\geq \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)} \end{eqnarray*}$

Da würde natürlich mit eingehen, dass $\begin{eqnarray*} d(x,y)+d(y,z) \geq d(x,z) \end{eqnarray*}$ ,aber das blöde Ding ist ja im Zähler und im Nenner. verwirrt

verwirrt

Ich grübel noch mal weiter und für Tipps wäre ich dankbar.

12.11.2011, 12:48

Hansen38

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Hallo madx, ich habe nochmal geschaut, was du gestern
geschriebne hast und das war eigentlich schon fast richtig.

$\begin{eqnarray*} p(x,z) = \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}= \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)+d(y,z)} + \frac{d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}\le \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} + \frac{d(y,z)}{1+d(y,z)} = p(x,y) + p(y,z) \end{eqnarray*}$

Warum die erste Ungleichung stimmt, kann man sich erstmal plausibel machen:

sei z.b. $\begin{eqnarray*} a=5 \le b= 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a/(1+a) = 5/6 \le b/(1+b) = 9/10 \end{eqnarray*}$

12.11.2011, 14:56

madx

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Hmm..

Eigentlich logisch, dann bin ich ja eigentlich schon fertig gewesen, ausgenommen von den paar Tippfehlern.

Aber warum habe ich denn nur so quer gedacht bei der ersten Ungleichung?

Naja, auf jeden Fall habt ihr mir alle prima geholfen. Herzlichen Dank.

Gruß

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