Sigma-Algebra

11.11.2011, 11:30

loyloep

Sigma-Algebra

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ überabzählbar und $\begin{eqnarray*} G = \lbrace \lbrace \omega \rbrace : \omega \in \Omega \rbrace \end{eqnarray*}$ das System der ein-elementigen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

(a) Zeige $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack = \lbrace A \subset \Omega : A \ \text{oder} A^{C} \ \text{ist abzählbar} \rbrace \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist.

(b) Zeige, dass die durch $\begin{eqnarray*} P(A) = \begin{cases}<br /> 0 & \text{:} A\text{ abzählbar,}<br /> 1 & \text{:} A\text{ überabzählbar.}<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

definierte Funktion ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\lbrack G \rbrack) \end{eqnarray*}$ ist.

Den Teil b) habe ich gelöst: Offensichtlich ist die Normierungsbedingung aufgrund der Definition der Funktion P(A) erfüllt. Die sigma-Additivität ist ebenfalls erfüllt, da die Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer überabzählbaren Menge wieder überabzählbar ist.

Kann mir jemand bei Teil a) helfen?

11.11.2011, 12:19

Math1986

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RE: Sigma-Algebra
Zur a):
Für die Mengengleichheit sind 2 Inklusionen zu zeigen: Eine ist trivial, für die andere musst du eine Fallunterscheidung machen

11.11.2011, 12:53

loyloep

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Meinst Du es ist die Mengengleichheit zwischen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ zu zeigen?

11.11.2011, 13:46

Math1986

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Zitat:

Original von loyloep
Meinst Du es ist die Mengengleichheit zwischen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ zu zeigen?

Nein, es ist das zu zeigen was in der Aufgabenstellung steht:

$\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack = \lbrace A \subset \Omega : A \ \text{oder} A^{C} \ \text{ist abzählbar} \rbrace \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 15:17

loyloep

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Ich denke die eine Inklusion verstanden zu haben:

$\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \subseteq \lbrace A \subset \Omega : A \ \text{oder} A^C \ \text{abzählbar}\rbrace \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist und folglich deren ein-elementige, d.h. abzählbare, Teilmengen enthält.

Die andere Richtung verstehe ich noch nicht. NAch was mache ich denn da die Fallunterscheidung?

11.11.2011, 21:07

Math1986

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Zitat:

Original von loyloep
Ich denke die eine Inklusion verstanden zu haben:

$\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \subseteq \lbrace A \subset \Omega : A \ \text{oder} A^C \ \text{abzählbar}\rbrace \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist und folglich deren ein-elementige, d.h. abzählbare, Teilmengen enthält.

Die davon erzeugte Sigma-Algebra enthält aber auch viel mehr, nämlich deren Vereinigungen.

Zitat:

Original von loyloep
Die andere Richtung verstehe ich noch nicht. NAch was mache ich denn da die Fallunterscheidung?

Einmal für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abzählbar und einmal für $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ abzählbar.

13.11.2011, 11:20

loyloep

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Wie zeige ich, dass [G] die kleinste sigma-Algebra ist, die G enthält?

13.11.2011, 15:32

Math1986

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Zitat:

Original von loyloep
Wie zeige ich, dass [G] die kleinste sigma-Algebra ist, die G enthält?

Das ist normalerweise die Definition, wie habt ihr das denn definiert?

15.11.2011, 08:05

loyloep

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Ich habe überhaupt keine Definition. Kann auch keine im Netz finden. Gibt es da eine Standarddefinition?

15.11.2011, 14:43

Math1986

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Ja, gibt es, und ja, man findet sie im Netz.
Du willst mir doch nicht erzählen, dass du mit der Aufgabe begonnen hast, ohne vorher die grundliegenden Symbole zu klären?

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