Sigma-Algebra

11.11.2011, 12:30

loyloep

Sigma-Algebra

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ überabzählbar und $\begin{eqnarray*} G = \lbrace \lbrace \omega \rbrace : \omega \in \Omega \rbrace \end{eqnarray*}$ das System der ein-elementigen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

(a) Zeige $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack = \lbrace A \subset \Omega : A \ \text{oder} A^{C} \ \text{ist abzählbar} \rbrace \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist.

(b) Zeige, dass die durch $\begin{eqnarray*} P(A) = \begin{cases}<br /> 0 & \text{:} A\text{ abzählbar,}<br /> 1 & \text{:} A\text{ überabzählbar.}<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

definierte Funktion ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\lbrack G \rbrack) \end{eqnarray*}$ ist.

Den Teil b) habe ich gelöst: Offensichtlich ist die Normierungsbedingung aufgrund der Definition der Funktion P(A) erfüllt. Die sigma-Additivität ist ebenfalls erfüllt, da die Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer überabzählbaren Menge wieder überabzählbar ist.

Kann mir jemand bei Teil a) helfen?

11.11.2011, 13:19

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sigma-Algebra
Zur a):
Für die Mengengleichheit sind 2 Inklusionen zu zeigen: Eine ist trivial, für die andere musst du eine Fallunterscheidung machen

11.11.2011, 13:53

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst Du es ist die Mengengleichheit zwischen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ zu zeigen?

11.11.2011, 14:46

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von loyloep
Meinst Du es ist die Mengengleichheit zwischen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ zu zeigen?

Nein, es ist das zu zeigen was in der Aufgabenstellung steht:

$\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack = \lbrace A \subset \Omega : A \ \text{oder} A^{C} \ \text{ist abzählbar} \rbrace \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 16:17

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke die eine Inklusion verstanden zu haben:

$\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \subseteq \lbrace A \subset \Omega : A \ \text{oder} A^C \ \text{abzählbar}\rbrace \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist und folglich deren ein-elementige, d.h. abzählbare, Teilmengen enthält.

Die andere Richtung verstehe ich noch nicht. NAch was mache ich denn da die Fallunterscheidung?

11.11.2011, 22:07

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von loyloep
Ich denke die eine Inklusion verstanden zu haben:

$\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \subseteq \lbrace A \subset \Omega : A \ \text{oder} A^C \ \text{abzählbar}\rbrace \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} \lbrack G \rbrack \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist und folglich deren ein-elementige, d.h. abzählbare, Teilmengen enthält.

Die davon erzeugte Sigma-Algebra enthält aber auch viel mehr, nämlich deren Vereinigungen.

Zitat:

Original von loyloep
Die andere Richtung verstehe ich noch nicht. NAch was mache ich denn da die Fallunterscheidung?

Einmal für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abzählbar und einmal für $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ abzählbar.

13.11.2011, 12:20

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie zeige ich, dass [G] die kleinste sigma-Algebra ist, die G enthält?

13.11.2011, 16:32

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von loyloep
Wie zeige ich, dass [G] die kleinste sigma-Algebra ist, die G enthält?

Das ist normalerweise die Definition, wie habt ihr das denn definiert?

15.11.2011, 09:05

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe überhaupt keine Definition. Kann auch keine im Netz finden. Gibt es da eine Standarddefinition?

15.11.2011, 15:43

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gibt es, und ja, man findet sie im Netz.
Du willst mir doch nicht erzählen, dass du mit der Aufgabe begonnen hast, ohne vorher die grundliegenden Symbole zu klären?

Neue Frage »

Antworten »

Sigma-Algebra

Verwandte Themen