Induktionsbeweis teilbar durch 7

11.11.2011, 12:58

don_janov

Induktionsbeweis teilbar durch 7

Guten Tag!

Ich bin in einer Beispielsammlung auf folgende Folge gestoßen:

$\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ -1 ist teilbar durch 7. Die Formel soll durch vollständige Induktion bewiesen werden.

Daher 7k= $\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ -1

IA: n=1: $\begin{eqnarray*} 2^{3} \end{eqnarray*}$ -1=7 ; 7k=7 also wahre Aussage.

IB: 7k= $\begin{eqnarray*} 2^{3(n+1)} \end{eqnarray*}$ -1

IS: 7k= $\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ -1+ $\begin{eqnarray*} 2^{3(n+1)} \end{eqnarray*}$ -1

da ja beide Teilfolgen Teilbar durch 7 sein sollen muss auch die Summer der Beiden durch 7 teilbar sein.
So weit meine Annahme.

sieht dann bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} 2^{3} \end{eqnarray*}$ -2

und das ergibt vereinfacht am Ende
7k = 9* $\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ -2

ist das die Richtige Lösung bzw der Richtige Weg?

Danke schon mal im vorraus für die Hilfe

Jan

11.11.2011, 13:04

klarsoweit

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RE: Induktionsbeweis teilbar durch 7

Zitat:

Original von don_janov
Daher 7k= $\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ -1

Das ist unsauber ausgedrückt. Richtig muß es heißen:

Zu jedem n aus N gibt eine natürliche Zahl k, so daß $\begin{eqnarray*} 2^{3n}-1 = 7k \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von don_janov
IB: 7k= $\begin{eqnarray*} 2^{3(n+1)} \end{eqnarray*}$ -1

Siehe oben.

Zitat:

Original von don_janov
IS: 7k= $\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ -1+ $\begin{eqnarray*} 2^{3(n+1)} \end{eqnarray*}$ -1

Diesen Schritt verstehe ich nicht.

11.11.2011, 13:25

don_janov

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Müsste das nur so heißen?

$\begin{eqnarray*} 2^{3(n+1)} \end{eqnarray*}$ -1

das vereinfache ich dann zu

8* $\begin{eqnarray*} 2^{3(n)} \end{eqnarray*}$ -1

stimmt das so?

das wäre mein 2. ansatz gewesen. sonst stehe ich auf der Leitung.

11.11.2011, 13:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von don_janov
Müsste das nur so heißen?

$\begin{eqnarray*} 2^{3(n+1)} \end{eqnarray*}$ -1

Ein hingeknallter Term hilft in der Mathematik nur selten. Was wir brauchen, ist eine Aussage, über deren Wahrheitsgehalt zu befinden ist.

Also wie könnte ein beweisbare Aussage aussehen?

11.11.2011, 13:59

don_janov

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Also noch mal der Anfang:

7k= $\begin{eqnarray*} 2^{3n} \end{eqnarray*}$ -1

IA: n=1: $\begin{eqnarray*} 2^{3} \end{eqnarray*}$ -1=7 ; 7k=7 also wahre Aussage.

IB: 7k= $\begin{eqnarray*} 2^{3(n+1)} \end{eqnarray*}$ -1

Bew: der vereinfachte obere rechte Term ergibt bei mir:

8* $\begin{eqnarray*} 2^{3(n)} \end{eqnarray*}$ -1 teilbar durch 7

also
7k=8* $\begin{eqnarray*} 2^{3(n)} \end{eqnarray*}$ -1

Jan

11.11.2011, 14:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von don_janov
Bew: der vereinfachte obere rechte Term ergibt bei mir:

8* $\begin{eqnarray*} 2^{3(n)} \end{eqnarray*}$ -1 teilbar durch 7

Soll das jetzt heißen, daß du das noch zeigen willst oder daß du einfach behauptest, daß dieses gilt? Letztes ist für mich auf den ersten Blick nicht erkennbar.