Grenzwert bestimmen mit e-d Kriterium

11.11.2011, 13:26

Lisa 21

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Grenzwert bestimmen mit e-d Kriterium

Meine Frage:
Hey ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.
Und zwar verzweifel ich grade an dem Epsilon-delta kriterium:

Ich soll den Grenzwert bestimmen von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee war die Formel erst einmal umzudefinieren, also: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3} \end{eqnarray*}$
da wir diese Formel früher schon mal bewiesen haben. Und dann habe ich n gegen unendlich laufen lassen und habe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ als grenzwert rausbekommen. Nur sollen wir den grenzwert aber mit dem e-d-Kriterium ermitteln und ich weis leider gar nicht wie ich das anfangen soll...

Vielen dank schon mal an alle die mir helfen smile

smile

11.11.2011, 13:48

galoisseinbruder

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Der Grenzwert ist wohl eher $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}. \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das umschreiben ist eine gute Idee. Was musst du denn für einen Epsilon-Delta-Beweis hier genau zeigen. (ich will auf den $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0... \end{eqnarray*}$ Ausdruck raus.)

P.S. Wie hast Du denn den Limes berechnet? Mit Schulmethoden deren Beweise Du noch nie gesehen hast?

11.11.2011, 14:02

Lisa 21

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ähm ja sorry hab mich verschrieben meinte natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
und ja hab den Grenzwert berechnet wie ichs in der schule gelernt hab...
Also sofern ich das verstanden hab muss nach dem e-d Kriterium für alle epsilon >0 ein delta > 0 existieren, so dass |x- $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ | < delta ist und |f(x) - f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) < epsilon

rein theoretisch weis ich also was das bedeutet, nur weiß ich gar nicht wie ich das jetzt anwenden muss.

11.11.2011, 14:04

galoisseinbruder

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Wir brauchen den Begriff der Konvergenz für Folgen nicht Funktionen.
Was sollte denn hier auch $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ sein?

11.11.2011, 14:23

Lisa 21

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ok? also das war die definition, die uns so gegeben wurde oder bin ich jetzt ganz falsch und ich brauche eigentlich die definition :

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \in \mathbb R + \exists n_{0}= n_{0}(\epsilon) \in \mathbb N \forall n \geq n_{0} : |a_{n} -a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Sry, bisher versteh ich leider erst recht wenig von den ganzen def. für die grenzwerte und bin ziemlich am verzweifeln unglücklich

unglücklich

11.11.2011, 14:36

galoisseinbruder

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Interessante Form; bei mir fangen solche Ausdrücke mit $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ an. (für negative \Epsilon ist auch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_{n} -a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ immer falsch).
Das was wir hier betrachten ist eine Folge also brauchen wir die Definition von Konvergenz einer Folge.
Dieses

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists n_{0}= n_{0}(\epsilon) \in \mathbb N \forall n \geq n_{0} : |a_{n} -a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

ist ja auch nicht die vollständige def. aus dem Skript. Da steht noch was davor in der Richtung von:
Sei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine reellwertige Folge, $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt Grenzwert der Folge falls...

während bei dem davor geposteten sowas steht wie:
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Abbildung

Setze doch mal unsere Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und unseren Grenzwert a in die Def. ein. Nächste Frage: wie zeigt man so eine Epsilontik-Aussage?

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11.11.2011, 14:51

Lisa 21

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Ja stimmt in meinem Skript steht dacor noch a_n ist eine konvergente Folge, falls es ein a
$\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt, so dass...

alson wenn ich jetzt das die Folge und a einsetzte würde dass ja dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3} -\frac{1}{3} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Richtig?

achso danke schon mal das du mir hilfst smile

smile

hoffe du verzweifelst nicht an mir, da ich echt noch kaum was davon versteh Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.11.2011, 14:59

galoisseinbruder

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So weit so richtig. Jetzt den Term auf der linken Seite vereinfachen.
(Ich hätt gern was von der Form $\begin{eqnarray*} \frac{a}{n}+\frac{b}{n^2} \end{eqnarray*}$ wobei a, b geeignete Zahlen.)

Im Skript steht bestimmt auch wie man solche $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -beweist bzw. Bsp. dazu oder welche die Du schon gerechnet hast.

11.11.2011, 15:13

Lisa 21

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Meinst du dass so?

$\begin{eqnarray*} \frac{3n^2+n}{3n^3} \end{eqnarray*}$

also wenn ich die $\begin{eqnarray*} 3 n^3 \end{eqnarray*}$ im Zähler verkürze?

hab noch gar nix vorher damit berechnet und mein problem ist ja, dass ich das in meinem Skript nicht ganz verstehe

11.11.2011, 15:24

galoisseinbruder

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Der term muss $\begin{eqnarray*} \frac{3n^2+n}{6n^3} \end{eqnarray*}$ heißen.
Abarbeiten von Quantoren:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ (dass müssen wir rausfinden, wie die wahl genau aussieht) so, dass $\begin{eqnarray*} \frac{3n^2+n}{6n^3} < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ .
Das gibt´s bestimmt so oder so ähnlich im Skript. (Ich würde fast wetten, dass das am beispiel $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ vorgeführt wurde).
Die Entscheidende ist also, wie finden wir das $\begin{eqnarray*} n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ ?

11.11.2011, 15:57

Lisa 21

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Ja also bei unsrem beispiel haben wir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und hatten dann $\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{\sqrt{ \epsilon}} \end{eqnarray*}$ raus. aber ich versteh nicht, wie ich da bei meiner aufgabe vorgehen muss?

Ich denke ich muss erst mal dass, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ auf beiden seiten addieren, oder?

$\begin{eqnarray*} \forall n \geq 0: \frac{3n^2+n}{6n^3}- \frac{1}{3}|<\epsilon \end{eqnarray*}$ |+ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \frac{3n^2+n}{6n^3}|<\epsilon+ \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

wäre der anfang so richtig?

11.11.2011, 16:04

galoisseinbruder

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Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ hast Du schon verfrühstückt:
Wir hatten ursprünglich $\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3} -\frac{1}{3} < \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{3n^2+n}{6n^3}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^3} \end{eqnarray*}$ .
Finde ein $\begin{eqnarray*} n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ so, dass beide Summanden kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ sind. (Dann ist die Summe kleiner $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ )

11.11.2011, 16:50

Lisa 21

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oh gott, dann hab ich iregendeinen schritt von dir jetzt gar nicht verstanden,
kannst du mir noch mal grad erklären, wie du die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ wegbekommen hast.

Sorry steh ich grad voll aufm schlauch unglücklich

unglücklich

11.11.2011, 16:54

galoisseinbruder

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Bruch in die Summenbestandteile auseinander ziehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3} - \frac{1}{3}= \frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2} \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 18:10

Lisa 21

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oh gott ja dass klingt logisch Big Laugh

Big Laugh

da stand ich wirklich richtig aufm schlauch. Danke

gut dann habe ich ja jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} +\frac{1}{6n^2} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

und jetzt muss ja jeder der beiden Summanden kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ damit die summe auch kleiner ist als epsilon.

Darf ich den dann die beiden summanden auch einzeln betrachten als:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n}\leq \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6n^3}\leq \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 18:15

galoisseinbruder

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Du sollst sogar die beiden Summanden einzeln betrachten, deswegen hab ich die ursprüngliche Summe ja aufgeteilt. Ein $\begin{eqnarray*} n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ in dieser Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} +\frac{1}{6n^2} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ zu finden ist ziemlich unangenehm. Be den einzelnen kannst so wie im Bsp. aus dem Skript vorgehen.

11.11.2011, 18:26

Lisa 21

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Ok ich glaub so langsam versteh ichs...

Also wenn ich jetzt alles richtig gerechnet hab kommt da aber bei mir jetzt bei
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6n^3}\leq \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ --> n> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3\epsilon} } \end{eqnarray*}$

und bei

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \leq \frac{\epsilon }{2} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} n> \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ raus

11.11.2011, 18:29

galoisseinbruder

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Genau.
Wie wählen wir jetzt unser $\begin{eqnarray*} n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit: $\begin{eqnarray*} \forall n\geq n(\epsilon):\frac{1}{2n} +\frac{1}{6n^2} < \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

11.11.2011, 18:39

Lisa 21

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$\begin{eqnarray*} n_{0} =\left[\frac{1}{\epsilon}+\frac{1}{3\sqrt{\epsilon} } \right] +1 \end{eqnarray*}$

und so gilt $\begin{eqnarray*} \forall n\geq n_{0} : |\frac{1}{\epsilon} + \frac{1}{\sqrt{\epsilon} } -\frac{1}{3} | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Richtig?

11.11.2011, 18:46

galoisseinbruder

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Dein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ kannst Du so wählen. Ich persönlich hatte $\begin{eqnarray*} n_{0} =\left[ max \{ \frac{1}{\epsilon},\frac{1}{3\sqrt{\epsilon}} \} \right] \end{eqnarray*}$ , aber das ist Geschmackssache.
Der zweite Term stimmt so nicht, ich hab keine Ahnung was Du damit meinst, warum kommt z.B. kein n vor. Wo sind die n´s hin? Überleg Dir nochmal was wir gerade versuchen zu beweisen.

11.11.2011, 18:52

Lisa 21

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ähm ja das ist schwachsinn, müsste eigentlich heißen:

$\begin{eqnarray*} \forall n\geq n_{0} : | \frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}-\frac{1}{3} | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 18:55

galoisseinbruder

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Auch das ist falsch. Ich dachte das Problem mit dem 1/3 hätten wir schon geklärt.
Mach Dir nochmal klar wo wir grade im Beweis sind.

P.S. Bin jetzt für ne gute Stunde weg.

11.11.2011, 20:30

Lisa 21

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Stimmt, oh man ... geschockt

geschockt

dann müsste es ja viel eher so heißen:

Mit $\begin{eqnarray*} n_{0}= \left[max\left\{ \frac{1}{\epsilon},\frac{1}{\sqrt{3\epsilon} } \right\} \right] \end{eqnarray*}$
gilt $\begin{eqnarray*} \forall n\geq n_{0} : | \frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 20:53

galoisseinbruder

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Du darfst gerne das von Dir vorgeschlagene $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ verwenden es ist ja auch richtig. (Da gibt´s viele Wege die nach Rom führen)
So jetzt musst Du nur noch den Beweis anständig aufschreiben, alle nötigen Schritte sind wir durchgegangen.

11.11.2011, 21:01

Lisa 21

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ok, super, dann hab ichs jetzt tatsächlich verstanden Hammer

Hammer

Ein ganz, ganz großes Dankeschön für deine Geduld smile

smile

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