Untersuche folgende Abbildung auf Injektivität/Surjektivität

Neue Frage »

Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuche folgende Abbildung auf Injektivität/Surjektivität
hey... ich denke die überschrift sagt schon alles Augenzwinkern
versteh nicht genau wie man das prüft ... beispielaufgabe lautet wie folgt

f:R2-->R2 ( also R zwei wird auf R zwei abgebildet )
f(x,y) = (x+6y,-y)

wär nett wenn mir jemand die vorgehensweise erklären könnte
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Man prüft es, indem man sich einmal die Definition von injektiv/surjektiv ansieht und das für diese Funktion überprüft, da gibt es wenig zu tun.

Wie lautet die Definition zur Injektivität, wie sieht das aus, wenn wir das mal auf diese Funktion ansetzen?
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben gesagt , dass
eine funktion injektiv ist falls
#


also
übertragen

f(x1,y1) = (x1+6*y1,-y1) = ( x2+6*y2,-y2)= f(x2,y2)

oder wie meinste ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das mein ich.

Fang also an mit , kannst du daraus folgen, dass ist?
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

ich wüsst nicht wie ichs umformen sollte damit oben des raus bekommen könnte
unten gehts ja
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erstell doch daraus mal ein lineares Gleichungssystem, wenn du es nicht über die Vektoren lösen kannst.
 
 
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du
x1+6y1= x2+6y2
-y1 = -y2 | * 6

x1+6y1= x2+6y2
-6y1 = -6y2 / 1 + 2

-> x1 = x2?!?!?!



ich glaub ich steh grad auf em schlauch
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn es das wäre was du gemeint hast
dann ahb ich ja jetzt da stehn x1 = x2 .. aber was wär dann mti dem y ?!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Für die zweite Koordinate hast du doch die Gleichung die du untersuchen und bei Bedarf umformen kannst
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

sprich die funktion ist injektiv !?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dass hab ich jetzt denke ich verstanden ... aber wie siehts mit der surjektivität aus ?da müssen ja alle f(xy) werte mindestens einmal erreicht werden damit das gilt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nimm dir doch mal ein und überprüfe, ob sich dafür ein Urbild angeben lässt.
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

also jetzt auf die aufgabe bezogen

is ja f(x,y) = (x+6y,-y)

kann man sagen
f(x) wird x+6y zugeordnet
und
f(y) wird -y zugeordnet



und dann bildet man die umkehrfunktino
y=x+6y
x=-5y
so sieht man das jedes y einmal erreicht wird

oder so irgendwie
und bei x=-y
y=-x sieht mans ja auch


hmm^^
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kann man nicht sagen.

Gibt es zu jedem einen passenden mit ? Falls ja, gib dieses an und du bist fertig.
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

also unten gehts ja auf jedenfall
-y kann jedes b werden

und oben wüsst ich nicht welchen wert es nicht annehmen könnte ..
also ist es surjektiv ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Gibt es zu jedem einen passenden mit ? Falls ja, gib dieses an und du bist fertig.


Mit irgendwelchen Sätzen was du dir nicht vorstellen könntest und das es ja eigentlich alle treffen müsste, wirst du nicht weit kommen. Das ist alles andere als ein Beweis.

Damit die Abbildung surjektiv ist, muss zu jedem ein passendes Urbild existieren, dieses musst du angeben um die Surjektivität nachzuweisen. Das geht ganz konkret über die oben angegebene Gleichung.
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

dann muss ich ja eigenticlh die umkehrfunktion bilden

aber wie mach ich das in r2 ?!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest auch schon meine Vorschläge durchlesen und überdenken. unglücklich

Eine Umkehrfunktion existiert bisher noch nicht einmal, dazu müssten wir nachweisen, dass die Abbildung bijektiv ist.

Damit das hier nicht ewig an der Surjektivität hängenbleibt:

Sei gegeben. Dann gilt:

, jetzt fehlt nur noch ein Schritt und wir hätten ein passendes Urbild angegeben, also passende sodass gilt.
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

x+6y=a und y=-b

--> x=a-6y und b=-y
--> x=a+6b und b=-y

--->> (x,y) = (a+6b,-b)
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »