a priori / posteriori

11.11.2011, 15:02

Riemannson

a priori / posteriori

Seien $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ die a priori Wahrscheinlichkeiten des Eintretens eines Ereignisses B unter den Hypothesen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq k \end{eqnarray*}$ . Die Hypothesen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ selbst treten mit Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ein, wobei $\begin{eqnarray*} \sum_i p_i=1 \end{eqnarray*}$ In einer
Serie von n unabhängigen Experimenten hat man das Ereignis B m mal beobachtet ( $\begin{eqnarray*} m\leq n \end{eqnarray*}$ ). Es wird
angenommen, dass die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ sich während dieser Experimente nicht ändern.

1. Bestimmen Sie die a posteriori Wahrscheinlichkeiten von den Hypothesen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ nach dieser Serie!

2. Sei P(n) dieWahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B im n-ten Experiment unter der Bedingung eingetreten
ist, dass es auch in den ersten n-1 Experimenten eintrat. Vergleichen Sie P(n) und P(n+1). Können diese
Wahrscheinlichkeiten gleich sein?

ich hab keine Ahnung was ich hier machen muss!

kann mir jmd weiterhelfen?

11.11.2011, 22:17

Math1986

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RE: a priori / posteriori
Schau dir mal die Definition der A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit an. Wie lautet diese?
Die A-Priori-Wahrscheinlichkeit ist ja vorgegeben.
Wie sind denn nun die Ereignisse $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ verteilt?
Aus diesen beiden Verteilungen setzt sich deine A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit zusammen.

14.11.2011, 09:39

Riemannson

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also wie die B verteilt sind erschließt sich mir nicht sofort.

für die Berechnung der a postiori Wahrscheinlichkeit hab ich:

$\begin{eqnarray*} P_i=P(A_i|B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)} \Rightarrow P(A_i)=\frac{P(A_i|B)P(B)}{P(B|A_i)} \end{eqnarray*}$

und kann man sagen:

$\begin{eqnarray*} P(B)\approx \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$

14.11.2011, 10:28

Math1986

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Zitat:

Original von Riemannson
also wie die B verteilt sind erschließt sich mir nicht sofort.

Diese sind doch binomialverteilt, da wir das Experiment n-mal mit Erfolgswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ durchführen

Zitat:

Original von Riemannson
für die Berechnung der a postiori Wahrscheinlichkeit hab ich:

$\begin{eqnarray*} P_i=P(A_i|B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)} \Rightarrow P(A_i)=\frac{P(A_i|B)P(B)}{P(B|A_i)} \end{eqnarray*}$

Uns interessiert doch aber $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ sind doch die Vorbedingungen

Zitat:

Original von Riemannson
und kann man sagen:

$\begin{eqnarray*} P(B)\approx \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$

Das stimmt.

14.11.2011, 14:57

Riemannson

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ich glaub ich hab mich oben etwas vertahn.

Also nochmal:

Seien $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ die a priori Wahrscheinlichkeiten des Eintretens eines Ereignisses B unter den Hypothesen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ , dh: $\begin{eqnarray*} P_i=P(B|A_i) \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die a posteriori Wahrscheinlichkeiten von den Hypothesen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ nach dieser Serie! dh. laut Math1986:

wir suchen: $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ verwirrt

nun hab ich folgedes:

$\begin{eqnarray*} P_i=P(B|A_i)=\frac{P(A_i|B)P(B)}{P(A_i)} \end{eqnarray*}$

richtig soweit?

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