Echtheit einer Inklusion zeigen

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Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
Echtheit einer Inklusion zeigen
Seien f : D -> M eine Funktion und A und B Teilmengen von D.
a)
Zeigen Sie, dass die Inklusion f(A B) f(A) f(B) echt ist. D.h.
geben Sie ein Beispiel einer Funktion f und Mengen A und B an, so dass f(A) f(B) ! f(A B).

b)
Zeigen Sie, dass f(A) f(B) f(A B) jedoch gilt, wenn f injektiv ist.


Ich bin da überhaupt nicht im Thema weder bei a) noch viel weniger bei b) kann mir da jemand helfen, bitte? = )
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage b) gibt dir bereits Hinweise, wie du die Funktion in a) zu wählen hast.

EDIT: (bzw. nicht zu wählen hast)
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wähle wahrschienlich eine Funktion f mit den Mengen A und B (das mit den Mengen verstehe ich noch nciht so ganz) so dass f injektiv ist?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das genau eben nicht, denn dann wäre die Inklusion eben nicht "echt" und es würde eine Gleichheit bestehen Augenzwinkern
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar, nochmal nachgedacht, stimmt.

Das Problem ist, das bringt mich nicht weiter.

Eine nicht injektive Funktion kann ja alles mögliche sein und was es mit A und B auf sich hat weiß ich auch nicht.

Wenn ich an eine nicht injektive Funktion denke, dann bspw. f(x) = x^{2} .

Wie sieht denn eien Funktion aus, die in der Aufgabe gefragt ist?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Funktion ist schon mal gut.
Jetzt nimm dir irgendeinen Definitionsbereich , auf dem die Funktion nicht injektiv ist und dann unterteile diesen Definitionsbereich in zwei Mengen A und B und berechne , , und
 
 
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Defintionsbereich soll sein Z also die ganzen Zahlen, dann ist sie nicht injektiv.

Weil 4 bekomme ich mit 2 und -2 als Beispiel.

Wie teilt man nun den Definitionsbereich? positive ganze Zahlen und negative?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre eine Idee. Probiers doch mal aus.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

f(A) = {1,4,9,16,...,n²}
f(B) = {1,4,9,16,...,n²}

= {1,4,9,16,...,n²} = f(A) = f(B)

= { }

Also müsste das doch passen oder?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das ist ein Beispiel, wo man sieht, dass hier eine echte Inklusion in der einen Richtung stattfindet.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Ist a) damit beantwortet?

und wie geht man an B ran, das Problem ist ja da reicht kein Beispiel sondern es muss ja allgemein gezeigt, sprich bewiesen werden, dass dem so ist.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

a) ist damit fertig, ja

bei b) musst du jetzt ein bißchen mit der Definition der Injektivität rumspielen (speziell auf Mengen bezogen) und die Inklusion zeigen. Fang so an: Sei und zeige dann, dass .
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Sei x Element f(A) f(B)....

ich fang mal so an f(A) ist injektiv wenn es immer genau ein x Element A gibt das f(x) abbildet.

(Ich glaube ich habe es logisch verstanden aber das ausdrücken fällt schwer.)

für f(B) gilt dasselbe.

Entsprechend müssen x Element von f(A) f(B) sowohl x Element von A als auch von B sein.

Und daraus folgt das x Element von f(A B)

weil wenn x in A und B ist dann ist das gleich der Schnittmenge von A und B.

Formeller Versuch:

Da f: injektiv gilt

x Element f(A) f(B) => x Element A und B
=> x Element f(A B)

Sowas in der Richtung?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist nicht schlecht, der Formalismus klappt aber so komplett nicht, vor allem die Behauptung
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Wie macht man das denn dann? Ich glaube zu verstehen warum das so ist, ich kanns aber wie man gemerkt hat nicht richtig hinschreiben...
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt daran, dass und in ganz verschiedenen Räumen liegen können und daher ein Objekt nicht im anderen liegen kann.
Machs lieber so: Wähle ein , sodass .
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Ok schade Big Laugh

Also dieser Zwischenschritt ist etwas konfus für mich, weil bisher unbekannt.

Muss ich dann auch y Element B sodass f(y) = x Element f(B)
oder eine andere Variable, bspw.

z Element B sodass f(z) = x Element f (B)

Wie bearbeitet man dann den ersten Teil

f(A) geschnitten f(B) ?

das sind ja die Werte die f(A) und f(B) dann haben, wäre dass dann f(y) und f(z)?

Vorausgesetzt der Anfang wäre überhaupt so wovon ich mal nicht ausgehe.. :-)
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich mache dir mal den Anfang und du überlegst weiter:

Sei . Also ist und .

Jetzt überlege dir folgendes:
Was bedeuten diese beiden Bedingungen? Was ist denn bzw. ?
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Welche "Bedingungen" ?

f(A) ist die abgebildete Menge von A durch die Funktion f und f(B) das entsprechende mit B.

deswegen konnte ich auch nicht sagen das dann F(Ageschnitten B ) gilt. weil das eine die Bildmenge ist und das andere die Urmenge (?!)

Jetzt kommt sicherlich irgendwie die Sache mit dem y Elemt A.... ins Spiel oder?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Na die beiden Bedingungen die ich drüber geschrieben habe. Also:

. Weil , ist also für ein bestimmtes (sonst könnte ja nicht in sein).

Jetzt mach dasselbe für und benutze die Injektivität.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso mir war nicht klar das das Bedingungen sind.

Die erste heißt das x ein Element der Schnittmenge der Abbildungen durch die Funktion f von A einerseits und B andererseits.
Die zweite heißt das x ein Element der Abbildung von A und ein Element der Abbildung von B ist.

Und das was du als letztes geschrieben hast hatte ich mir so gedacht (von der Form her natürlich nicht)

Womit ich wieder bei der Frage von vor einiger Zeit wäre.

. Weil, ist also für ein bestimmtes .

Bleibt es bei dem z oder sollte ich eine andere Variable benutzen?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Underfaker
Bleibt es bei dem z oder sollte ich eine andere Variable benutzen?


Das ist eine sehr gute Frage!
Eigentlich musst du eine andere Variable benutzen. Aber jetzt denk mal über die Injektivität von f nach.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ich versteh das einfach nciht wenn das mit Mengen gemacht wird, vielleicht sollt ich einfach aufgeben, ich hab sowieso das schlechte Gefühl deine Zeit zu stellen obwohl ich ncihts produktives zustande bringe.

f ist injektiv heißt das es ein Element der Bildmenge gibt also f(A) f(B) oder f(z) das durch genau ein Element dargestellt wird.

Was anderes weiß ich dazu nicht.

Ich hab schonmal so eine Aufgabe gesehen wo man injektiv und surjektiv anwenden musste, aber das hab ich obwohl da schon die Lösung stand nicht mal verstanden.

Injektiv bei einer Funktion: f(x) = 2x+1 zu zeigen wäre für mich kein Problem aber hier habe ich überhaupt kein Verständnis dafür.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Panik, wir haben die Mengen gerade über die Variablen und auf Elemente zurückgeführt. Das macht die Sache leichter!

Also überleg mal: Es gibt ein und ein "anderes" . Außerdem weißt du, dass injektiv ist. Was bedeutet das?
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Ach das ist weniger Panik und mehr Resignation.
Mir ist klar geworden, dass ich die elementare Frage nicht beantworten kann, siehe vorheriger Post.

"Außerdem weißt du, dass injektiv ist. Was bedeutet das? "

"Aber jetzt denk mal über die Injektivität von f nach. "

Sind das jetzt eigentlich unterschiedliche s?

Weil sonst wäre ja A=B weil das z durch die Injektivität immer nur ein "Bild" abbilden kann.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist so nicht korrekt. Wenn wir die Definition der Injektivität aufschreiben, sehen wir mehr:

Eine Funktion heißt injektiv, wenn gilt:


Jetzt wissen wir: und , also ist und mit der Injektivität von gilt dann . Also wissen wir (einfach nur statt schreiben:

Es gibt ein und außerdem ist auch noch .

Jetzt kannst du wieder weitermachen.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Da z Element A und Element B ist mit f(z) = x

=> A geschnitten B = z (aber ich denke mal das kann man so nicht schreiben oder?)

und dann wäre f(A geschnitten B) = x
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig. Dann ist und , also . Weil jetzt (nach Voraussetzung gilt), dass , muss sein, denn ist ja gerade ein solches Urbild in , sodass .
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich muss sagen, dass mir deine Form auch besser gefällt Big Laugh .

Vielen Dank für deine Hilfe, war sicher mühsam..
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen!
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